Question

Sejam A=(0, 0), B=(0, 5) e C=(4, 3) pontos do plano cartesiano.

a) Determine o coeficiente angular da reta BC.

b) Determine a equação da mediatriz do segmento BC. O ponto A pertence a esta mediatriz?

c) Considere a circunferência que passa por A, B e C. Determine a equação da reta tangente a esta circunferência no ponto A.

Answer 1

a) Seja y = ax + b.

Então, com os pontos B = (0,5) e C = (4,3) podemos montar o seguinte sistema:

{b = 5
{4a + b = 3

Substituindo o valor de b na segunda equação:

4a + 5 = 3
4a = -2 
$a = - \frac{1}{2}$ → esse é o coeficiente angular da reta.

A reta que passa por B e C é: x + 2y + 5 = 0.

b) A mediatriz passa pelo ponto médio do segmento BC. Então, sendo M esse ponto, temos que:

$M = (\frac{0+4}{2}, \frac{5+3}{2})$
M = (2,4)

A reta que representa a mediatriz é perpendicular à reta que passa por B e C.

Como dito no item anterior, essa reta é x + 2y + 5 = 0. 

O vetor u = (1,2) é perpendicular a essa reta. 

Logo, na equação da reta da mediatriz, podemos utilizar o vetor v = (-2,1). Sendo assim:

-2x + y + c = 0.

Como a mediatriz passa por M, então:

-2.2 + 4 + c = 0
c = 0.

Portanto, a equação da mediatriz do segmento BC é -2x + y = 0.

Substituindo o ponto A(0,0) podemos perceber que ele pertence a esta mediatriz.

c) A equação da reta tangente à circunferência no ponto A será paralela à reta x + 2y + 5 = 0.

Ou seja, ela é da forma x + 2y + c = 0.

Como passa pelo ponto A, então c = 0.

Portanto, a reta é x + 2y = 0.