Sejam A=(0, 0), B=(0, 5) e C=(4, 3) pontos do plano cartesiano.
a) Determine o coeficiente angular da reta BC.
b) Determine a equação da mediatriz do segmento BC. O ponto A pertence a esta mediatriz?
c) Considere a circunferência que passa por A, B e C. Determine a equação da reta tangente a esta circunferência no ponto A.
Respostas
respondido por:
13
a) Seja y = ax + b.
Então, com os pontos B = (0,5) e C = (4,3) podemos montar o seguinte sistema:
{b = 5
{4a + b = 3
Substituindo o valor de b na segunda equação:
4a + 5 = 3
4a = -2
→ esse é o coeficiente angular da reta.
A reta que passa por B e C é: x + 2y + 5 = 0.
b) A mediatriz passa pelo ponto médio do segmento BC. Então, sendo M esse ponto, temos que:
M = (2,4)
A reta que representa a mediatriz é perpendicular à reta que passa por B e C.
Como dito no item anterior, essa reta é x + 2y + 5 = 0.
O vetor u = (1,2) é perpendicular a essa reta.
Logo, na equação da reta da mediatriz, podemos utilizar o vetor v = (-2,1). Sendo assim:
-2x + y + c = 0.
Como a mediatriz passa por M, então:
-2.2 + 4 + c = 0
c = 0.
Portanto, a equação da mediatriz do segmento BC é -2x + y = 0.
Substituindo o ponto A(0,0) podemos perceber que ele pertence a esta mediatriz.
c) A equação da reta tangente à circunferência no ponto A será paralela à reta x + 2y + 5 = 0.
Ou seja, ela é da forma x + 2y + c = 0.
Como passa pelo ponto A, então c = 0.
Portanto, a reta é x + 2y = 0.
Então, com os pontos B = (0,5) e C = (4,3) podemos montar o seguinte sistema:
{b = 5
{4a + b = 3
Substituindo o valor de b na segunda equação:
4a + 5 = 3
4a = -2
→ esse é o coeficiente angular da reta.
A reta que passa por B e C é: x + 2y + 5 = 0.
b) A mediatriz passa pelo ponto médio do segmento BC. Então, sendo M esse ponto, temos que:
M = (2,4)
A reta que representa a mediatriz é perpendicular à reta que passa por B e C.
Como dito no item anterior, essa reta é x + 2y + 5 = 0.
O vetor u = (1,2) é perpendicular a essa reta.
Logo, na equação da reta da mediatriz, podemos utilizar o vetor v = (-2,1). Sendo assim:
-2x + y + c = 0.
Como a mediatriz passa por M, então:
-2.2 + 4 + c = 0
c = 0.
Portanto, a equação da mediatriz do segmento BC é -2x + y = 0.
Substituindo o ponto A(0,0) podemos perceber que ele pertence a esta mediatriz.
c) A equação da reta tangente à circunferência no ponto A será paralela à reta x + 2y + 5 = 0.
Ou seja, ela é da forma x + 2y + c = 0.
Como passa pelo ponto A, então c = 0.
Portanto, a reta é x + 2y = 0.
Perguntas similares
6 anos atrás
6 anos atrás
8 anos atrás
8 anos atrás
8 anos atrás
9 anos atrás