Question

Em quais itens os pontos dados formam um triangulo?
preciso dos calculos e tem q dar: letra B e C

Answer 1

Vamos lá.

 Veja, Fernanda, que a resolução é simples embora um pouco trabalhosa porque teremos que encontrar as medidas de cada lado dos triângulos dados.

 i) Pede-se para determinar, dentre as opções dadas, quais são os vértices que representam um triângulo.  Antes veja: para que os vértices representem um triângulo, a medida da soma de dois lados quaisquer (calculados pela distância de um vértice a outro) sempre deverá ser maior que a medida de um lado apenas.

 

 Bem, visto isso, então vamos calcular as medidas de cada lado a partir dos vértices dados. A propósito, note que, daqui pra frente, iremos utilizar a fórmula da distância entre dois pontos. Por exemplo: a distância (d) entre os pontos (x₀; y₀) e (x₁; y₁) é dada assim:  d² = (x₁-x₀)² + (y₁-y₀)².

 ii) Visto isso, então vamos calcular apenas os vértices que estão nas opções “b” e “c”, que são os únicos vértices que realmente representam um triângulo. Para os outros vértices, diremos apenas quais são essas medidas, sem deixar demonstrado porque se formos fazer isso a resposta ficará bastante longa e não será expedida por ultrapassar ao número máximo de caracteres. Mas a forma de calcular será idêntica à forma que vamos utilizar para os itens “b” e “c”, ok? Então vamos às letras “b” e “c”:

 b) No item “b” temos que os vértices são estes: F(2; 3√3); G(5; 0) e H(-1; 0).

 b.i) Medida do lado FG, com F(2; 3√3) e G(5; 0):

 (FG)² = (5-2)² + (0-3√3)²

(FG)² = (3)² + (-3√3)²

(FG)² = 9 + 9*3

(FG)² = 9 + 27

(FG)² = 36

FG = ± √(36) ----- como √(36) = 6, teremos:

FG = ± 6 --- tomando-se apenas a raiz positiva, pois a medida de um lado de triângulo nunca é negativa, teremos:

 

FG = 6 <--- Esta é a medida do lado FG.

 

b.ii) Medida do lado FH, com F(2; 3√3) e H(-1; 0)

 

(FH)² = (-1-2)² + (0-3√3)²

(FH)² = (-3)² + (-3√3)²

(FH)² = 9 + 9*3

(FH)² = 9 + 27

(FH)² = 36

FH = ± √(36) ---- como √(36) = 6, temos:

FH = ± 6 --- tomando-se apenas a raiz positiva:

FH = 6 <--- Esta é a medida do lado FH .

 

b.iii) Medida do lado GH, com G(5; 0) e H(-1; 0)

 

(GH)² = (-1-5)² + (0-0)²

(GH)² = (-6)² + (0)²

(GH)² = 36 + 0

(GH)² = 36

GH = ± √(36) ----- como √(36) = 6, temos:

GH = ±  6 --- tomando-se apenas a raiz positiva, temos:

GH = 6 <--- Esta é a medida do lado GH.

 

Assim, como vemos, os vértices do item "b" são os de um triângulo equilátero: todos os três lados são iguais. Note que a soma de quaisquer de dois lados sempre é maior que a medida de um lado só. 

c) No item “c” temos que os vértices são estes: L(4; 6); M(3; 1) e N(9; 2) --- vamos calcular as medidas de cada lado:

 c.i) Lado LM, com L(4; 6) e M(3; 1):

 (LM)² = (3-4)² + (1-6)²

(LM)² = (-1)² + (-5)²

(LM)² = 1 + 25

(LM)² = 26

LM = ± √(26) ---- tomando-se apenas a raiz positiva, temos:

LM = √(26) <--- Esta é a medida do lado LM.

 

c.ii) Medida do lado LN, com L(4; 6) e N(9; 2):

 

(LN)² = (9-4)² + (2-6)²

(LN)² = (5)² + (-4)²

(LN)² = 25 + 16

(LN)² = 41

LN = ± √(41) ---- tomando-se apenas a raiz positiva, temos:

LN = √(41) <--- Esta é a medida do lado LN.

 

c.iii) Medida do lado MN, com M(3; 1) e N(9; 2):

 

(MN)² = (9-3)² + (2-1)²

(MN)² = (6)² + (1)²

(MN)² = 36 + 1

(MN)² = 37

MN = ± √(37) ---- tomando-se apenas a raiz positiva, temos:

MN = √(37) <--- Esta é a medida do lado MN.

 

Agora veja que temos: LM = √(26); LN = √(41); e MN = √(37). Note que aqui também a soma de quaisquer que sejam dois lados será sempre maior que a medida de um lado apenas. Logo, os vértices do item "c" também são de um triângulo.

 iii) Para que você tentar fazer sozinha, vamos dar as medidas dos lados a partir dos vértices do item “a” e “d”.

 - No item “a” temos que as medidas dos lados encontrados foram estas: AB =  13; AC = 6,5; e BC = 6,5 . Note que: 6,5 +6,5 = 13. Veja que que é exatamente igual à medida do lado AB. Então não poderá ser triângulo, pois a soma terá que ser, necessariamente, maior que a medida de um lado só.

 - No item “d” temos que as medidas dos lados encontrados foram estas: PQ = 5; PR = 10; e QR = 5 . Note: como a soma dos lados PQ e QR (5 + 5 = 10) deu igual ao lado PR (PR = 10), então os vértices dados no item “d” também não são vértices de um triângulo.

 iv) Logo, sintetizando, temos que os vértices que são realmente de um triângulo são apenas os vértices dados nos itens “b” e “c”.

 

É isso aí.

Deu pra entender bem?

 

OK?

Adjemir.