Question

Questão 31. Os polinômios p(x)=x⁴-5x³-13x+77x+8mn+4 e q(x)=x³-13x+12 são divisíveis pelo polinômio h(x)=x²+3x+m. Qual é o valor de m-n?

Com cálculos, por favor!

Answer 1

Olá!!

 De acordo com o enunciado, p(x) e q(x) são divisíveis por h(x). Com isso, temos que, dividindo p(x) por h(x) obtemos um polinômio A(x) de grau dois (4 - 2); analogamente, dividindo q(x) por h(x) obtemos outro polinômio B(x), cujo grau é um (3 - 2).

 Daí,

CONDIÇÃO II: $\mathbf{q(x) = h(x) \cdot B(x)}$

 Uma vez que B(x) tem grau 1, tome $\mathbf{B(x) = ax + b}$. Segue que,

$\\ \mathsf{q(x) = h(x) \cdot (ax + b)} \\\\ \mathsf{x^3 - 13x + 12 = (x^2 + 3x + m) \cdot (ax + b)} \\\\ \mathsf{x^3 - 13x + 12 = ax^3 + bx^2 + 3ax^2 + 3bx + amx + bm} \\\\ \mathsf{x^3 - 13x + 12 = ax^3 + (b + 3a)x^2 + (3b + am)x + bm} \\\\ \begin{cases} \boxed{\mathsf{a = 1}} \\ \mathsf{b+3a=0\Rightarrow b=-3a\Rightarrow \boxed{\mathsf{b = - 3}}} \\ \mathsf{3b + am = - 13} \\ \mathsf{bm = 12 \Rightarrow - 3m = 12 \Rightarrow \boxed{\mathsf{m = - 4}}} \end{cases}$ 


CONDIÇÃO I: $\mathbf{p(x) = h(x) \cdot A(x)}$

 Já que A(x) possui grau 2, considere $\mathbf{A(x) = cx^2 + dx + e}$. Daí,

$\\ \mathsf{p(x) = h(x) \cdot (cx^2 + dx + e)} \\\\ \mathsf{x^4 - 5x^3 - 13x^2 + 77x + 8mn + 4 = (x^2 + 3x - 4) \cdot (cx^2 + dx + e)} \\\\ \mathsf{x^4 - 5x^3 - 13x^2 + 77x - 32n + 4 = cx^4 + dx^3 + ex^2 + 3cx^3 + 3dx^2 + 3ex - 4cx^2 - 4dx - 4e} \\\\ \mathsf{x^4 - 5x^3 - 13x^2 + 77x - 32n + 4 = cx^4 + (d + 3c)x^3 + (e + 3d - 4c)x^2 + (3e - 4d)x - 4e} \\\\ \begin{cases} \boxed{\mathsf{c = 1}} \\ \mathsf{d + 3c = - 5 \Rightarrow d = - 3 - 5 \Rightarrow \boxed{\mathsf{d = - 8}}} \\ \mathsf{3e - 4d = 77 \Rightarrow 3e = 77 - 4 \cdot 8 \Rightarrow \boxed{\mathsf{e = 15}}} \end{cases}$

 
 Por conseguinte,

$\\ \mathsf{- 32n + 4 = - 4e} \\\\ \mathsf{32n = 4e + 4} \\\\ \mathsf{32n = 4 \cdot 15 + 4} \\\\ \mathsf{32n = 64} \\\\ \boxed{\mathsf{n = 2}}$


 Finalmente,

$\\ \mathsf{m - n = - 4 - 2} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{m - n = - 6}}}$