Question

Alguém consegue resolver essa expressão de números imaginários pra mim, por favor

$(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)^{6}$

foi do vestibular da unemat, preciso da resposta urgente

Answer 1

Olá

Podemos calcular as potenciações separadamente

Considere

$\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)^6 = \left(\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)^3\right)^2$

Então, ainda assim, considere

$\left(\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)^3\right)^2 = \left(\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)^2 \cdot\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)\right)^2$

Agora, aplique a fórmula para produtos notáveis separadamente
$\boxed{(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2}$

$\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)^2 = \dfrac{1}{2}^2 + 2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}i+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i^2$

Simplifique as potenciações e multiplicações

$\dfrac{1}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i + \dfrac{3}{4}\cdot i^2$

Sabendo que $\boxed{i^2 = -1}$

$\dfrac{1}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i + \dfrac{3}{4}\cdot(-1)\\\\\\ \dfrac{1}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i - \dfrac{3}{4}\\\\\\ \dfrac{\sqrt{3}}{2}i - \dfrac{1}{2}$

Então, substitua no interior da expressão

$\left(\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}i-\dfrac{1}{2}\right) \cdot\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)\right)^2$

Considere
$\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}i-\dfrac{1}{2}\right) = \left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)\cdot(-1)$

Então, calcule o produto da soma pela diferença

Aplique a fórmula
$(a+b)\cdot(a-b)=a^2 - b^2$

$-\left(\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)\cdot\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)\right)\\\\\\ -\left(\dfrac{1}{2}^2 - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i^2\right)$

Simplifique as potenciações

$-\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{4}\cdot i^2\right)\\\\\\ -\left(\dfrac{1}{4}-\left(-\dfrac{3}{4}\right)\right)\\\\\\ -\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\right)$

Some as frações com mesmo denominador

$-\left(\dfrac{1+3}{4}\right)\\\\\\ -1$

Substitua este valor na expressão

$(-1)^2 = 1$

Esta é a resposta

$\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)^6=1$