Question

logaritmo

log 2 (x^2+2x-7)-log 2 (x-1)= 2

Answer 1

LOGARITMOS

Equação Logarítmica 2° tipo

$Log _{2}( x^{2} -2x-7)-Log _{2}(x-1)=2$

Inicialmente vamos impor a condição de existência, veja:

x²+2x-7>0 e x-1>0

como as bases são iguais, vamos aplicar a p2 (propriedade do quociente):

$Log _{2} \frac{( x^{2} +2x-7)}{(x-1)}=2$

Agora vamos aplicar a definição de Logaritmos:

$\frac{ (x^{2}+2x-7) }{(x-1)}=2 ^{2}$

$\frac{( x^{2} +2x-7)}{(x-1)}=4$

Transferindo o denominador da fração algébrica, como multiplicador no 2° membro da equação, temos:

$x^{2} +2x-7=4(x-1)$

$x^{2} +2x-7=4x-4$

$x^{2} +2x-7-4x+4=0$

$x^{2} -2x-3=0$

Resolvendo a equação do 2° grau, obtemos as raízes, x'=3 e x"= -1

Verificando na C.E., temos:

para x=3:
x²+2x-7>0 .:. 3²+2*3-7>0 .:. 9+6-7>0 .:. 15-7>0 .:. 8>0 (verdadeiro)
x-1>0 .:. 3-1>0 .:. 2>0 (verdadeiro)

para x= -1
x²+2x-7>0.;. (-1)²+2*(-1)-7>0 .:. 1-2-7>0 .:. -10>0 (falso)
x-1>0 .:. -1-1>0 .:. -2>0 (falso)

Portanto:

Solução: { 3 }