Question

(ITA) De um ponto de uma esfera de raio R são traçadas três cordas iguais que formam um ângulo α duas a duas. Determine o comprimento de cada corda.

Answer 1

Denotando-se O o centro da esfera e AS, BS e CS cordas iguais de medida d. Como S e O equidistam de A, B e C, temos que SO é perpendicular ao plano definido por ABC (aconselho fortemente que em questões desse tipo seja realizado o desenho). Seja P a interseção de SO com o plano ABC. É sabido que P é o circuncentro do triângulo ABC (que é equilátero, claramente).
No triângulo SAB, temos que $AB = 2dsen \frac{ \alpha }{2}$.
Além disso, temos $PA = AB* \frac{ \sqrt{3} }{3} = \frac{2}{3} \sqrt{3} dsen \frac{ \alpha }{2}$. ($\frac{2}{3}$ da altura do triângulo equilátero).
Por esse motivo, a área do triângulo OAS é igual a $\frac{1}{2} *R*PA = \frac{R }{ 3 } \sqrt{3} dsen \frac{ \alpha }{2} .$
Por outro lado, como o triângulo OAS é isósceles de lados OS = OA = R e AS = d, sua área é dada por $\frac{1}{2} d \sqrt{ R^{2}- \frac{ d^{2} }{4} }$ (basta traçar a altura relativa a AS).
Igualando as duas expressões para a área OAS, temos que $\frac{R}{3} \sqrt{3} dsen \frac{ \alpha }{2} = \frac{1}{2} d \sqrt{ R^{2}- \frac{ d^{2} }{4} }$, o que nos dá $d = 2R \sqrt{1- \frac{4}{3} sen^{2} \frac{ \alpha }{2} }$

Espero ter ajudado.