Question

Dado um sólido com formato de um cubo com aresta a, onde a é um número inteiro



positivo, considere um vértice B e os pontos médios M, S e N de cada aresta adjacente a



esse vértice. Esses 4 pontos definem um tetraedro que é retirado do cubo, conforme ilustra



a figura.



Sabendo que o volume de uma pirâmide é um terço da área da base pela altura, então a



razão do volume do cubo original e o volume do tetraedro definido pelos vértices M, S, B e



N é dada por.




TEM QUE DAR 1/48.

Answer 1

Olá!

Achei uma imagem que não sei se é a correta mas ajuda na solução da questão.

Temos um tetraedro (MSBN ) que é uma pirâmide, e base dela é um triângulo retângulo, e os catetos desse triângulo podem ser medidos sabendo que M e N são punto médios das arestas AC e AB do cubo:

Assim cada aresta mede: $\frac{a}{2}$

Agora como a formula para calcular a área do triângulo é dada por a multiplicação da base pela altura e dividida em 2, temos que:

$A_{(T)} =\frac{ [ \frac{a}{2} * \frac{a}{2}]}{2}$

$A_{(T)} = \frac{[\frac{a^{2}}{4}]}{2}$

$A_{(T)} = \frac{a^{2}}{8}$

Agora temos outro dato, sabemos que o volume de uma pirâmide é um terço da área da base pela altura, que vai ser = $\frac{a}{2}$ porque S é ponto médio do segmento B'B. temos que:

$V_{P} = \frac{1}{3} * A * h$

Substituimos os dados:

$V_{P} = \frac{1}{3} * \frac{a^{2}}{8} * \frac{a}{2}$

$V_{P} =\frac{a^{2}}{24} * \frac{a}{2}$

$V_{P} = \frac{a^{3}}{48}$

Assim sabendo que a área do cubo é dada por lado ao cubo, como o comprimento, profundidade e altura de um cubo são os mesmos, podemos calcular o volume da mesma forma:

$A_{C} = a^3$

$V_{C} = a^3$

Assim a razão do volume do cubo original e o volume do tetraedro definido pelos vértices M, S, B e N é dada por

$R = \frac{V_{P}}{V_{C}}$

$R = \frac{\frac{a^{3}}{48}}{a^{3}}$

$R = \frac{1}{48}$