Question

mostre que f e a funcao afim f(x)=x3+9x2+27x+27/x2+6x+9

Answer 1

teoricamente você queria escrever f(x) = (x³+9x²+27) / (x² +6x+9)

Para resolver o problema existem várias maneiras,você pode usar o teorema das possíveis raízes e depois aplicar o dispositivo de briot ruffini ,você pode dividir direto por divisão de polinômios ,eu creio que as raízes da equação x² +6x +9 sejam as mesmas da equação x³ +9x² +27x + 27

Vamos resolver a quadrática.
x² +6x +9=0
delta = 36-4.1.9 = 0
x = -6/2 = -3
notamos que a equaçao fatorada é dada por (x+3)²  [ raiz 3 tem multiplicidade 2]

Veja que -3 é raiz de x³ +9x² +27x +27
pois (-3)³ +9.(-3)² +27(-3) + 27 = 0

Para essa equação ser de primeiro grau(função afim) a equaçao cubica tambem admite raiz -3 com multiplicidade 2
logo se "a" é a outra raiz da equação cubica,temos:

(x-a)(x+3)² = x² +9x² +27x +27
(x-a)(x²+6x+9) = x³ +9x² +27x + 27
x³ +6x² +9x -ax² -6ax -9.a  = x³ + 9x² + 27x + 27 =0

note que
x³ + x²(6-a) + x(9-6a) -9a = x² + 9x² +27x +27

comparando e igualando termos de mesmo grau temos
6-a = 9
-a = 3
a = -3
 ou então
-9a = 27
a = -3
Logo descobrimos que a equaçao cubica vale (x+3)³ de modo que
f(x) = (x+3)³ /(x+3)² = x+3

A função f  é afim.

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