Question

RESOLVA A SEGUINTE EQUAÇÃO, EM [0°,360°]

A) 2cos²x=1-senx

Answer 1

Olá.

Dada a equação:

$2cos^{ 2 }x=1-senx$

Segundo as identidades nós temos:

$cos^{ 2 }x=1-sen^{ 2 }x$

Substituindo e resolvendo teremos:

$2(1-sen^{ 2 }x)=1-senx\\ 2-2sen^{ 2 }x=1-senx\quad \\ -2sen^{ 2 }x+senx+1=0\quad (-1)\\ 2sen^{ 2 }x-senx-1=0$

Podemos considerar o senx sendo:

$senx=y$

Agora basta substituir e resolver a equação do segundo grau:

$2y^{ 2 }-y-1=0\\ \\ \Delta =b^{ 2 }-4ac\\ \Delta =(-1)^{ 2 }-4*2*(-1)\\ \Delta =1+8\\ \Delta =9\\ \\ \\ \frac { -b\pm \sqrt { \Delta } }{ 2a } \\ \\ \\ y^{ I }=\frac { 1+3 }{ 4 } \Rightarrow 1\\ \\ y^{ II }=\frac { 1-3 }{ 4 } \Rightarrow -\frac { 1 }{ 2 }$

Voltando para a mudança de variável:

$senx=y\\ \\ senx=1\\ \\ senx=-\frac { 1 }{ 2 }$

Com isso temos como solução:

$S=\{ x\epsilon R/\quad x=\frac { \pi }{ 2 } +2k\pi \quad ou\quad x=\frac { 7\pi }{ 6 } +2k\pi \quad ou\quad x=\frac { 11\pi }{ 6 } \}$

Answer 2

Olá.

Dada a equação:

Segundo as identidades nós temos:

Substituindo e resolvendo teremos:

Podemos considerar o senx sendo: