Question

Encontre o ponto sobre a curva y=√x que está mais próximo do ponto (1/2,16).

Answer 1

Seja $A = (\frac{1}{2},16)$ o ponto dado.

Com y = √x, então x = y².

Considere que B = (y²,y) o ponto pertencente à curva y = √x.

Calculando a distância entre A e B:

$d^2(A,B) = (y^2-\frac{1}{2})^2+(y-16)^2$

Derivando essa distância:

$(d^2(A,B))' = 4(y^2- \frac{1}{2})y + 2y - 32$
$(d^2(A,B))' = 4y^3 - 2y + 2y - 32$ 
$(d^2(A,B))' = 4y^3 - 32$

Igualando a derivada a 0:

4y³ - 32 = 0
4y³ = 32
y³ = 8
y = ∛8
y = 2

Logo, x = 4.

Portanto, o ponto sobre a curva y = √x mais próximo de A é o ponto B = (4,2)