Question

O triângulo da figura a seguir é um triângulo isósceles de lado e, portanto, de área .

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Se , e são pontos médios dos lados desse triângulo, então a altura do trapézio isósceles é


Opções

Answer 1

O lado do triângulo mede 10 cm e a área é igual a 25√3 cm².

Os pontos E,F e G são os pontos médios.

As opções são:

a) 10√2
b) $\frac{5\sqrt{3}}{2}$
c) 10√3
d) $\frac{5\sqrt{2}}{2}$
e) $\frac{5\sqrt{3}}{3}$

Resolução:

Como a área do triângulo ΔABC é 25√3 cm², então:

$\frac{AB.CG}{2} = 25\sqrt{3}$
$AB.CG = 50\sqrt{3}$
$AB = \frac{50\sqrt{3}}{CG}$

Como o triângulo é isósceles, então a altura divide a base relativa ao meio.

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ΔACG:

$10^2 = CG^2 + ( \frac{25\sqrt{3}}{CG})^2$
$100 = CG^2 + \frac{1875}{CG^2}$
100CG² = CG⁴ + 1875
CG⁴ - 100CG² + 1875 = 0

Considere que CG² = y. Então:

y² - 100y + 1875 = 0

Utilizando a fórmula de Bháskara encontraremos como resposta:

y = 25 ou y = 75

Vamos dividir em dois casos. Perceba que GI é a altura do trapézio.

1° caso

y = 25 ∴ CG = 5 e AB = 10√3

Pelo Teorema da Base Média:

$EF = \frac{AB}{2}=frac{10\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$

Logo, 

$\frac{5\sqrt{3}}{ \frac{5\sqrt{3}}{2} } = \frac{5}{CI}$
$CI = IG = \frac{5}{2}$

2°caso

y = 75 ∴ CG = 5√3 e AB = 10.

Pelo Teorema da Base Média:

$EF = \frac{AB}{2}=5$

Logo,

$\frac{ 5 }{ \frac{5}{2} } = \frac{5\sqrt{3}}{CI}$
$CI = IG = \frac{5\sqrt{3}}{2}$

Portanto, a alternativa correta é a letra b).