Question

determine a solução das equações:

"equação biquadrada"

a)
${x}^{4} - 5 {x}^{2} + 4 = 0$
b)
${x}^{4} - 8 {x}^{2} - 9 = 0$
c)
${x}^{4} - 3 {x}^{2} - 4 = 0$
d)
${x}^{4} - 16 {x}^{2} = 0$
e)
${x}^{4} - 8 {x}^{2} + 16 = 0$

Answer 1

Determine a solução das equações: 

"equação biquadrada"  ( 4 raizes)

(letra)(a) instrução COMPLETA ( para TODOS)
a)

x⁴- 5x² + 4 = 0   SUBSTITUIR
x⁴ = y² 
x² = y
x⁴ - 5x² + 4 = 0   
fica
y² - 5y + 4 = 0
a = 1
b = - 5
c = 4
Δ= b² - 4ac
Δ = (-5)² - 4(1)(4)
Δ = + 25 - 16
Δ = + 9 ------------------------>√Δ = 3  ( porque √9 = 3)
se
Δ > 0 ( DUAS raizes diferentes)
(baskara)
       - b + - √Δ            
y = ----------------
            2a

       -(-5) - √9     + 5 - 3          2
y' = ------------- = ---------- = -------- = 1
            2(1)           2               2         

       -(-5) + √9      + 5 + 3        8
y'' = --------------- = --------- = -------- = 4
             2(1)               2           2

assim
y' = 1
y'' = 4

voltando na SUBSTIUIÇÃO
x² = y
y' = 1
x² = 1
x = + - √1                (√1 = 1)
x = + - 1  ( duas raizes)
e
y'' = 4
x² = y
x² = 4
x = + - √4                          (√4 = 2) 
x = + - 2 ( 2 raizes)
assim
x' = - 1
x'' = + 1
x''' = - 2
x"" = + 2

b)
x⁴ - 8x² - 9 = 0
x⁴ = y²
x² = y
y² - 8y - 9 = 0
a = 1
b =- 8
c = - 9
Δ = b² - 4ac
 Δ= (-8)² - 4(1)(-9)
Δ = + 64 + 36
Δ =  100       ------√Δ = 10  ( 100 = 10)Δinstrução TUDO no (a)
           - (-8) - √100    + 8 - 10          - 2
y' = ------------------- = --------------- = ------ = - 1
               2(1)                  2                  2
    
          -(-8) + √100        + 8 + 10       + 18
y'' = -------------------= --------------- = ---------- = 9
               2(1)                   2                    2

x² = y
y' = - 1
x² = - 1
x² + - √-1  ( NÃO existe RAIZ REAL)  (por quê)??
√-1 ( raiz quadrada) com número NEGATIVO
e
y'' = 9
x² = y
x = + - √9      (√9 = 3)
x = + - 3   ( 2 raizes)

assim
x' e x'' = ∅
x''' = - 3
x'''' = + 3

c)
x⁴ - 3x² - 4 = 0
y²  - 3y - 4 = 0
a = 1
b = - 3
c = - 4
Δ = b² - 4ac
Δ = (-3)² - 4(1)(-4)
Δ = + 9 + 16
Δ = + 25   -------------> √Δ = 5   ( porque √25 = 5)

       -(-3) - √25      + 3 - 5         - 2
y'  = --------------- = --------- = -------- = - 1
            2(1)               2              2

         -(-3) + √25      + 3 + 5       + 8
y'' = ------------------ = ---------- = ------- = 4
             2(1)                  2              2

assim
x² = y
y' = - 1
x² = - 1
x = + - √-1  ( NÃO existe raiz real)  instrução acima
e
y'' = 4
x² = y
x² = 4
x = + - √4                (√4 = 2)
x = + - 2  ( 2 raizes)

assim
x' e x'' = ∅
x''' = - 2
x'''' = + 2

d)
x⁴ - 16x² = 0   VEJA
x²(x² - 16) = 0

x² = 0
x = + - √0               (√0 = )
x = + - 0  ( dua raizes)
e
(x² - 16) = 0
x² - 16 = 0
x² = + 16
x =+ - √16                    (√16= 4)
x + + - 4  ( 2 raizes)

assim
x' e x'' = 0
x''' = - 4
x'''' = + 4

e)
x⁴ - 8x² + 16 = 0
y² - 8y + 16 = 0
a = 1
b = - 8
c = 16
Δ =  b² - 4ac
Δ  = (-8)² - 4(1)(16)
Δ  = + 64 - 64
Δ = 0
se
Δ = 0 ( ÚNICA raiz)
y = - b/2a
y = - (-8)/2(1)
y = + 8/2
y = 4

assim
x² = y
y = 4
x² = 4
x = + - √4                  (√4 = 2)
x = + - 2  ( duas raizes)

assim
x' e x'' = - 2
x''' e x'''' = + 2