Question

Cálculo de limite! Por favor, me ajudem!

Answer 1

Qual é o conceito de limite de f(x) em um ponto dado x = a? É você pensar num valor de x que seja tão próximo de a mas sem ser igual a a. Esses valores podem ser escolhidos durante a análise desse limite da maneira que quisermos, podendo ser menor (valores a esquerda) ou maior (valores a direita de a) mas contanto que sejam muito próximos a x = a. O limite de f(x) quando x tende a existe se: o limite de f(x) a esquerda e o limite f(x) a direita existem e são iguais. Logo:

(a)
$\bullet \lim_{x \to 3}{f(x)}$ se olharmos no gráfico quando pegamos um valor 2,95 (no eixo x), por exemplo, você percebe que f(2,95) se aproxima de 100 (no eixo y). Então, pela esquerda:

$\lim_{x \to 3^-}{f(x)} = 100$

Aplicando o mesmo raciocínio, tomando valores maiores que a, como 3,001, vemos no eixo y que f(3,001) também se aproxima de 100, logo:

$\lim_{x \to 3^+}{f(x)} = 100$

$\lim_{x \to 3^+}{f(x)} = \lim_{x \to 3^-}{f(x)} = 100 \\ \implies \lim_{x \to 3}{f(x)} = 100$

$\bullet \lim_{x \to 0,8}{f(x)}$

Fazendo o mesmo raciocínio, pelo gráfico temos:

$\lim_{x \to 0,8^+}{f(x)} = \lim_{x \to 0,8^-}{f(x)} = 250 \\ \implies \lim_{x \to 0,8}{f(x)} = 250$

(b)
$\lim_{x \to 1}{f(x)}$

Vamos ver o que acontece quando escolhemos um valor a esquerda de 1. Digamos, x = 0,999. Percebe-se no gráfico, que o limite pela esquerda tende a 100. Agora pela direita: por exemplo, 1,05. Quando nos aproximamos de x = 1 pela direita, y = f(x) se aproxima de 250. Ora, se o limite à esquerda é diferente do limite à direita o que acontece com o gráfico? Ele sofre uma descontinuidade naquele ponto. Ou seja, função é descontínua em x = 1.

Answer 2

Antes de partimos para o limite propriamente dito, temos de relembrar o conceito de função.

A função é uma regra que relaciona os elementos de um conjunto (domínio) com os elementos de um outro conjunto (contradomínio).

De forma simples, ao passarmos um valor arbitrário $x$ para essa função, ela deverá retornar um valor $y$.

Observe o gráfico. Essa função $f$ recebe um valor $x$ (por exemplo 3) e nos retorna um valor correspondente em $y$ (nesse caso $y$=100).

O limite mostra o comportamento dessa função (valor de $y$) a medida que atribuimos a $x$, valores mais e mais póximos de um valor $n$.

Isto se traduz como, quando valor de $x$ se aproxuma de $n$, o que acontece com o y?

Isso pode se dar de duas formas, pela direita (←):

$\lim_{x \to n^{+}} f(x)$

E pela esquerda (→):

$\lim_{x \to n^{-}} f(x)$

Agora que conhecemos os conceitos básicos, podemos partir para a resolução:

ITEM A

Analisando o gráfico, o que acontece com o valor de $y$ quando $x$ se aproxíma de 3? Claramente $y$ se aproxima de 100. Isso ocorre se analizamos o gráfico pela direita e pela esquerda, logo:

$\boxed{\underline{\lim_{x \to 3} f(x) = 100}}$

No segundo caso, quando o valor de $x$ se aproxima de 0,8 o valor de $y$ se aproxima de 250. Logo:

$\boxed{\underline{ \lim_{x \to 0{,}8} f(x) = 250}}$

ITEM B

Esse exemplo é um pouco mais complexo.

Vamos analizar o comportamento do gráfico quando $x$ se aproxima a 1, pela direita:

Observe no gráfico que quando $x$ se aproxima de 1, o valor de $y$ será sempre 250, isto é, será constante.

Quando trabalhamos com o limite de uma função constante, o limite será igual a constante:

$\lim_{x \to 1^{+}} f(x) = 250$

Analisaremos agora o mesmo limite, porém pela esquerda. Podemos constatar pelo gráfico que o valor de $y$ se aproxima de 100:

$\lim_{x \to 1^{-}} f(x) = 100$

Temos que o limite pela esquera é diferente do limite pela direita:

$\lim_{x \to 1^{+}} f(x)~ \neq~\lim_{x \to 1^{-}} f(x)$

Quando isso ocorre, dizemos que a função não tem limite nesse ponto.

Que tal aprender mais sobre limites?!

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