Question

(UDESC, 2015) Um polinômio p(x) possui grau 4 e é divisível simultaneamente por f(x)=x²+5 e por g(x)=2x-3. Se p(x) satisfizer as condições p(-1)=150 e p(2)=63, determine a soma de todos os seus coeficientes.

Answer 1

Olá!

Sabemos que:

p(x) tem grau 4

p(x) é divisível por f(x)=x²+5

p(x) é divisível por g(x)=2x-3

p(-1) = 150

p(2) = 63

Se p(x) é divisível por f(x) e por g(x), então ele também deve ser divisível pela multiplicação das duas funções.

p(x) = (x²+5)(2x-3)

p(x) = 2x³ - 3x² + 10x - 15

Entretanto a função gerada não tem grau 4, então vamos multiplicar por uma nova "parte":

p(x) = (x²+5)(2x-3)(ax + b)

Vamos substituir os valores de p(-1) e p(2)

p(-1) = 150

p(-1) = (x²+5)(2x-3)(ax + b)

p(-1) = ((-1)²+5)(2(-1)-3)(a(-1) + b)

150 = (1+5)(-2-3)(-a + b)

150 = (6)(-5)(-a + b)

150 = (-30)(-a + b)

(-a + b) = $\frac{150}{-30}$

-a + b = -5

p(2) = 63

p(2) = (x²+5)(2x-3)(ax + b)

p(2) = ((2)²+5)(2(2)-3)(a(2) + b)

63 = (4+5)(4-3)(2a + b)

63 = (9)(1)(2a + b)

63 = (9)(2a + b)

(2a + b) = $\frac{63}{9}$

2a + b = 7

Temos:

-a + b = -5

2a + b = 7

Vamos isolar e substituir uma equação na outra:

2a + b = 7

b = 7 - 2a

-a + (7 - 2a) = -5

-a + 7 - 2a = -5

-3a = - 5 - 7

a = 12/3

a = 4

b = 7 - 2*4

b = 1 - 8

b = -1

Vamos voltar para p(x) e substituir a e b

p(x) = (x²+5)(2x-3)(ax + b)

p(x) = (x²+5)(2x-3)(4x - 1)

p(x) = (x²+5)(8x² - 2x - 12x + 3)

p(x) = (x²+5)(8x² - 14x + 3)

p(x) = $8x^{4}$ - 14x³ + 3x² + 40x² - 70x + 15

p(x) = $8x^{4}$ - 14x³ + 43x² - 70x + 15