Question

Uma caixa d'água, na forma de um cone reto invertido, está com água até a metade de sua altura. Adicionam-se 570 litros de água e o nível de água sobe um quarto de altura. Determine a capacidade da caixa, ou seja, o volume de água que podemos nela armazenar.

Answer 1

Olá,

Quando falamos em água dentro de um recipiente, lembramos do volume.

A fórmula para calcular o volume de um cone é $V=\frac{\pi r^{2} h}{3}$, sendo:

V --> volume do cone [m³];

r --> raio da base do cone [m];

h --> altura do cone [m].

Inicialmente o cone possui água até a metade de sua altura, ou seja, até $\frac{h}{2}$, dessa forma, seu volume inicial $V_{i}$ é dado por:

$V_{i} = \frac{\pi r^{2} \frac{h}{2}}{3} = \frac{\pi r^{2} h}{6}$

Ao adicionar os 570 litros de água, o nível sobre $\frac{1}{4}$ da altura anterior, isto é, $\frac{1}{4}$·$\frac{h}{2}$+$\frac{h}{2}$ = $\frac{5h}{8}$.

Logo, o volume $V_{f}$ após adicionar 570 litros de água será:

$V_{f} = \frac{\pi r^{2} \frac{5h}{8}}{3} = \frac{5\pi r^{2} h}{24}$

Sabendo que o volume é dado em metros cúbicos (m³), é necessário converter 570 litros para metros cúbicos.

1 litro = 1 dm³ = $10^{-3}$ m³

570 litros = 570 dm³ = 0,57 m³

Pelo enunciado, sabemos que o volume $V_{i}$ adicionado de 0,57 m³ resulta no volume $V_{f}$. Dessa forma,

$V_{i} +0,57 = V_{f}$

$\frac{\pi r^{2} h}{6} + 0,57 = \frac{5\pi r^{2} h}{24}$

$\frac{\pi r^{2} h+3,42}{6} = \frac{5\pi r^{2} h}{24}$

$4(\pi r^{2} h+3,42) = 5(\pi r^{2} h)$

$4(\pi r^{2} h+3,42) = 5(\pi r^{2} h)$

$4(\pi r^{2} h)+13,68 = 5(\pi r^{2} h)$

$\pi r^{2} h = 13,68$

$\frac{\pi r^{2} h}{3} = \frac{13,68}{3}$

$\frac{\pi r^{2} h}{3} = 4,56$

Note que $\frac{\pi r^{2} h}{3}$ é o volume total da caixa d'água de altura h.

Assim, a capacidade da caixa é de 4,56 m³ ou 4560 litros.