Question

Os termos (a,b,c) formam, nesta ordem, uma progressão aritmética crescente, cuja soma é igual a 21. Então os termos (a + c/ 2b, c - a, b + c) formam, nesta ordem, uma progressão geométrica de razao igual a:

Answer 1

A sequência (a,b,c) é uma P.A. crescente,cuja soma dos termos é 21,com isso temos:

Se (a,b,c) é P.A.,então:

b-a=c-b <=>
b+b=c+a <=>
2b=a+c (i)

E sabemos que a soma dos termos dessa P.A. é 21,logo:

a+b+c=21 <=>
(a+c)+b=21 <=> (ii)
(Substituindo (i) em (ii))
2b+b=21 <=>
3b=21 <=>
b=21/3 <=>
b=7


Com isso,temos que a sequência (a+c/2b,c-a,b+c) pode ser reescrita como:

(2b/2b,c-a,b+c)=(1,c-a,7+c) (b é não nulo)

A questão informa que a sequência (1,c-a,7+c) é uma P.G. e quer saber qual é a razão (que chamaremos de “q”) dessa progressão,com isso temos:

q=c-a=(7+c)/(c-a) =>
q=c-a (iii)


Sabemos que (1,c-a,7+c) é P.G.,então:

(c-a)^(2)=1.(7+c) <=>
(c-a)^(2)=7+c <=> (iv)
(Sabemos de (i) que “c=14-a”,vamos reescrever (iv))
[14-a-a]^(2)=7+14-a <=>
[14-2a]^(2)=21-a <=>
[2(7-a)]^(2)=21-a <=>
4(7-a)^(2)=21-a <=>
4(49-14a+a^(2))=21-a <=>
196-56a+4a^(2)=21-a <=>
4a^(2)-56a+a+196-21=0 <=>
4a^(2)-55a+175=0 (v)

Resolvendo (v) encontraremos as raízes “a1=35/4” e “a2=5”.


De (i) temos que:

c1=14-a1=14-35/4=5,25
c2=14-5=9

e

a1=35/4 => c1=5,25
(Primeira possibilidade)

a2=5 => c2=9
(Segunda possibilidade)


O exercício informa que a P.A. é crescente,então “c>a”,a única dentre as possibilidades acima,que satisfaz a condição de ser crescente é a segunda possibilidade (pois “c2=9” é maior que “a2=5”),com isso temos que:

c=9 e a=5

Voltando em (iii),sabemos que “q=c-a”,então “q=9-5=4”.


A razão (“q”) da P.G. é q=4.





Abraçoss!