Question

Encontre as equações paramétricas da reta r que passa por A = (2,1,−4) é paralela ao plano π : x−y + 3z = 5 e concorrente com a reta
s : {x = 1 + 3t
{y = 3−t
{z = −2−2t.

Answer 1

Queremos a reta r

π : x−y + 3z = 5 é paralela a r

Um plano paralelo a π : x−y + 3z = 5 ∈ r:

x-y+3z +D=0 ==> no ponto (2,1,-4)

2-1+3*(-4)+D=0 ==> D = 11

x-y+3z+11=0 ∈

r

s: tem um ponto em comum com r e tem um ponto comum com x-y+3z+11=0

s :

{x = 1 + 3t

{y = 3−t

{z = −2−2t

x-y+3z+11=0

1+3t-(3-t)+3*(-2-2t)+11=0

1+3t-3+t-6-6t+11=0

3-2t =0 ==>t=3/2

x=1+3*3/2 =2/2 +9/2 =11/2

y=3-3/2 =6/2-3/2 =3/2

z=-2-2t =-2-3 =-5

(11/2 , 3/2 ,-5) ∈ a reta r , A = (2,1,-4) ∈ a reta r

Vetor diretor da reta r

=> (11/2-2 , 3/2 -1 , -5+4) =(7/2 ,1/2 ,-1) e ponto A = (2,1,-4)

Equação vetorial da reta:

(x,y,z) =(xo,yo,zo) + (a,b,c) * t t ∈ Reais

t um escalar , (a,b,c) vetor diretoe e (xo,yo,zo) um ponto qualquer da reta

(x,y,z)=A = (2,1,-4) + (7/2 ,1/2 ,-1)t t ∈ Reais

Equação paramétrica da reta r:

x=2+7t/2

y=1+t/2

z=-4-t                    t ∈ Reais                         é a resposta

Answer 2

As equações paramétricas da reta r são (2 + 7t/2, 1 + t/2, -4 - t), t ∈ IR.

Vamos supor que o ponto B = (1 + 3t, 3 - t, -2 - 2t) é a interseção entre as retas r e s. Sendo assim, o vetor AB é paralelo à reta r.

Como o ponto A é igual a A = (2,1,-4), então o vetor AB é igual a:

AB = (1 + 3t, 3 - t, -2 - 2t) - (2, 1, -4)

AB = (1 + 3t - 2, 3 - t - 1, -2 - 2t + 4)

AB = (3t - 1, -t + 2, -2t + 2).

Temos a informação de que a reta r é paralela ao plano x - y + 3z = 5.

Isso significa que o vetor AB e o vetor normal do plano são perpendiculares.

O vetor normal do plano é n = (1,-1,3).

Dois vetores são perpendiculares quando o produto interno é igual a zero. Dito isso:

1.(3t - 1) + (-1).(-t + 2) + 3.(-2t + 2) = 0

3t - 1 + t - 2 - 6t + 6 = 0

-2t = -3

t = 3/2.

Portanto, o vetor AB é igual a:

AB = (3.3/2 - 1, -3/2 + 2, -2(3/2) + 2)

AB = (9/2 - 1, 1/2, -3 + 2)

AB = (7/2, 1/2, -1).

Assim, podemos concluir que as equações paramétricas da reta r são:

{x = 2 + 7t/2

{y = 1 + t/2

{z = -4 - t, t ∈ IR.

Exercício sobre equações paramétricas: https://brainly.com.br/tarefa/18263093