Question

(UNIFOR-CE) Uma bola de futebol é um poliedro convexo formado por 20 faces hexagonais e 12 pentagonais, todas com lados congruentes entre si. Um torcedor fanático de um dos clubes cearenses de futebol encomendou a um artesão uma bola de futebol costurada a mão que contenha o símbolo de seu time costurado em cada vértice da bola. Para costurar essas faces lado a lado, formando a superfície do poliedro convexo, o artesão gasta 15 cm de linha em cada aresta do poliedro, e para costurar o símbolo do time num vértice, ele gastará 60 cm de linha. Quantos metros de linha são necessários para que o artesão conclua a encomenda?

Answer 1

As alternativas são:

a) 48,3

b) 49,5

c) 53,4

d) 56,8

e) 59,2

Resolução:

Uma bola possui 20 faces hexagonais e 12 faces pentagonais. Logo, o total de faces é igual a F = 20 + 12 = 32.

Sendo as faces hexagonais e pentagonais, o total de arestas é igual a:

$A = \frac{20.6+12.5}{2} = 90$

Pela relação de Euler V + F = A + 2 podemos calcular o número de vértices existentes no poliedro, ou seja,

V + 32 = 90 + 2

V = 60

Como o artesão gasta 15 cm de linha para cada aresta do poliedro, então no total ele gastará 15.90 = 1350 cm de linha.

O artesão gasta 60 cm de linha para cada escudo em um vértice. Logo, ele gastará 60.60 = 3600 cm de linha.

Então, para uma bola o artesão gastará 1350 + 3600 = 4950 cm de linha, que equivale a 49,5 metros.

Portanto, a alternativa correta é a letra b).