Question

sabendo-se que a sucessão (x-1, x+2, 3x...) e uma P.G ,crescente determine x

Answer 1

Sabemos que (x - 1, x + 2, 3x, ...) é uma PG crescente.

Sabemos também que:

q = a2/a1 = a3/a2 = a4/a3 ...

Sendo assim, analisemos:

q = (x + 2)/(x - 1) = 3x/(x + 2)

Sabendo isso, vamos igualar:

$\frac{x+2}{x-1}=\frac{3x}{x+2}$

Multiplicando em cruz temos:

(x + 2).(x + 2) = (x - 1).3x

(x + 2)² = 3x² - 3x

x² + 4x + 4 = 3x² - 3x

Vamos jogar tudo para um lado só e igualar a 0.

x² - 3x² + 4x + 3x + 4 = 0

-2x² + 7x + 4 = 0

Vamos calcular o valor de x.

Δ = b² - 4.a.c

Δ = 7² - 4 . -2 . 4

Δ = 49 - 4. -2 . 4

Δ = 81

Há 2 raízes reais.

x = (-b +- √Δ)/2a

x' = (-7 + √81)/2.-2

x'' = (-7 - √81)/2.-2

x' = 2 / -4

x'' = -16 / -4

x' = -1/2

x'' = 4

Sendo assim, temos dois valores possíveis, porém ele quer uma PG crescente, então vamos substituir os valores de x para achar qual delas nos dará uma crescente.

(x - 1, x + 2, 3x, ...)

(-1/2 - 1, -1/2 + 2, 3.(-1/2)) = (-3/2, 3/2, -3/2)

Vamos ver a outra.

(x - 1, x + 2, 3x, ...)

(4 - 1, 4 + 2, 3.4, ...) = (3, 6, 12, ...)

Vemos então que a P.G. crescente é a qual o x vale 4, então, x = 4.