Question

A circunferência λ tem centro no ponto C (– 2, y) e intersecta o eixo das ordenadas nos pontos A (0, 1) e B (0, – 1). De acordo com esses dados, pode-se afirmar que uma equação para representar λ é:



a) x²+y²+4x+2y+1=0.



b) x²+y²-4x+y+1=0.



c) x²+y²+4x-1=0.



d) x²+y^2 -4x-1=0.



e) x²+y²+4x-2y-1=0

Answer 1

Os pontos A(0, 1) e B(0, −1) pertencem à circunferência λ. Logo, a distância do centro C(−2, y) até qualquer um desses pontos é igual ao raio r:

$\mathsf{r=d_{CA}=d_{CB}}\\\\ \mathsf{r^2=d^2_{CA}=d^2_{CB}}\\\\\\ \mathsf{r^2=(x_A-x_C)^2+(y_A-y_C)^2=(x_B-x_C)^2+(y_B-y_C)^2}\\\\ \mathsf{(0-(-2))^2+(1-y)^2=(0-(-2))^2+(1+y)^2}\\\\ \mathsf{(2)^2+(1-y)^2=(2)^2+(1+y)^2}\\\\ \mathsf{(1-y)^2=(1+y)^2}\\\\ \mathsf{(1-y)^2-(1+y)^2=0}$

Fatore a diferença entre quadrados usando produtos notáveis:

$\mathsf{\big[(1-y)-(1+y)\big]\cdot \big[(1-y)+(1+y)\big]=0}\\\\ \mathsf{[1-y-1-y]\cdot [1-y+1+y]=0}\\\\ \mathsf{-2y\cdot 2=0}\\\\ \mathsf{-4y=0}\\\\ \mathsf{y=0}$

Logo, o centro da circunferência é o ponto C(−2, 0).

Encontrando o raio:

$\mathsf{r^2=d^2_{CA}=d^2_{CB}}\\\\\\ \mathsf{r^2=(x_A-x_C)^2+(y_A-y_C)^2}\\\\ \mathsf{r^2=(0-(-2))^2+(1-0)^2}\\\\ \mathsf{r^2=2^2+1^2}\\\\ \mathsf{r^2=4+1}\\\\ \mathsf{r^2=5}\\\\ \mathsf{r=\sqrt{5}}$

A equação da circunferência é dada por

$\mathsf{\lambda:~(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2}\\\\ \mathsf{\lambda:~(x-(-2))^2+(y-0)^2=(\sqrt{5})^2}\\\\ \mathsf{\lambda:~(x+2)^2+y^2=5}\\\\ \mathsf{\lambda:~(x^2+4x+4)+y^2=5}\\\\ \mathsf{\lambda:~x^2+y^2+4x+4-5=0}$

$\mathsf{\lambda:~x^2+y^2+4x-1=0\quad\longleftarrow\quad resposta.}$

Resposta: alternativa c) x² + y² + 4x − 1 = 0.

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)