Question

seccionando-se uma pirâmide por uma plano paralelo a base e que divide sua altura em dois segmentos de medidas iguais obtemos uma piramide menor. Determinar a razão entre o volume da primeira piramide e o volume da piramide menor obtida. Resposta do livro está=8

Answer 1

Considere que h é a altura da pirâmide maior.

Então, o seu volume é igual a:

$V = \frac{A_b.h}{3}$

sendo Ab = área da base da pirâmide maior.

Quando plano é seccionado, a altura é dividida em duas partes iguais.

Então, a altura da pirâmide menor mede $\frac{h}{2}$.

Sendo Ab' = área da base da pirâmide menor, temos que:

$V' = \frac{A_b'.\frac{h}{2}}{3} = \frac{A_b'.h}{6}$

Assim, a razão entre os volumes é igual a:

$R = \frac{A_b.h}{3}.\frac{6}{A_b'.h} = 2\frac{A_b}{A_b'}$

Seja k a razão de semelhança entre as alturas das duas pirâmides.

Logo, $k = \frac{h}{\frac{h}{2}} = 2$.

A razão entre as áreas das bases é:

$2^2 = \frac{A_b}{A_b'}$

$\frac{A_b}{A_b'} = 4$

Portanto: R = 2.4 = 8.