Question

Savendo que o resto da divisao do polinomio
h(x)=ax^3+11x^2+bx-3 por 3x+2 é igual a -95/27 e que o resto da divisao de
h(x) por x-2 é 107, resolva.
a) Qual é o valor de h(-2/3)? e de h(2)?
b) Escreva o polinomio h(x).

Answer 1

Ao dividir h(x) = ax³ + 11x² + bx - 3 por 3x + 2 encontramos como resto:

$-\frac{8a}{27}-\frac{2b}{3}+\frac{17}{9}$

Como o resto é igual a $-\frac{95}{27}$, então:

$-\frac{8a}{27}- \frac{2b}{3}=- \frac{95}{27}- \frac{17}{9}$

$\frac{8a}{27}+\frac{2b}{3} = \frac{146}{27}$ (*)

Dividindo h(x) por x - 2 encontramos como resto 8a + 2b + 41.

Como o resto é igual a 107, então:

8a + 2b + 41 = 107

8a + 2b = 66

4a + b = 33

b = 33 - 4a

Substituindo o valor de b em (*):

$\frac{8a}{27}+ \frac{66-8a}{3}= \frac{146}{27}$

8a + 594 - 72a = 146

64a = 448

a = 7

Logo, b = 33 - 4.7 = 5

b) Portanto, o polinômio h(x) é h(x) = 7x³ + 11x² + 5x - 3

a) Fazendo $h(-\frac{2}{3})$ encontramos:

$h(-\frac{2}{3}) = 7(-\frac{2}{3})^3+11(-\frac{2}{3})^2+5(-\frac{2}{3})-3$

$h(-\frac{2}{3})=-\frac{56}{27} + \frac{44}{9}- \frac{10}{3}-3$

$h(-\frac{2}{3}) = -\frac{95}{27}$

Fazendo h(2) encontramos:

h(2) = 7.2³ + 11.2² + 5.2 - 3

h(2) = 7.8 + 11.4 + 5.2 - 3

h(2) = 56 + 44 + 10 - 3

h(2) = 107.