Question

Todos os elementos do domínio da função
y = (m + 1)x^2 − 2(m − 2)x + m tem imagens positivas.
Sendo assim, qual o menor valor inteiro que m pode
assumir?

Answer 1

Por "Todos os elementos do domínio da função têm imagens positivas." podemos deduzir que:

y > 0 para qualquer x ∈ D. (i)

Ou seja, o parâmetro m deve satisfazer (i).

Em uma função f quadrática f(x) = ax² + bx + c, com a ≠ 0, para que tenhamos f(x) > 0, qualquer que seja o x real, devemos ter a > 0 e Δ < 0 (Δ = b² - 4ac).

Para o caso em questão devemos ter (m+1) > 0 e (-2(m-2))² - 4(m+1)(m) < 0.

m+1 > 0 ⇔ m > -1

(-2(m-2))² - 4(m+1)(m) < 0 ⇔ (4 - 2m)² - 4(m² + m) < 0 ⇔ 16 - 16m + 4m² - 4m² - 4m < 0 ⇔ -20m + 16 < 0 ⇔ -20m < -16 ⇔ m > 16/20 ⇔ m > 4/5

Como as condições acima são simultâneas

m > -1 ∩ m > 4/5 = m > 4/5

O primeiro inteiro m > 4/5 = 0,8 é m = 1.