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A fração geratriz de uma dízima periódica são os dois números inteiros divididos entre si que como resultado dão em uma dízima periódica.
Eu não seu nenhuma alma bondosa mas em se tratando de uma garota em apuros eu gosto de bancar o super-herói salvando a nobre donzela.
Vamos ao que interessa.
Qualquer número racional a/b (a e b inteiros e b ≠ 0) é possível de se escrever sob a forma de um número inteiro, um número decimal finito, uma dízima periódica simples ou uma dízima periódica composta.
O que vai nos interessar são as dízimas periódicas simples e compostas.
Comecemos pela dízima periódica simples.
0,555...
Para determinarmos a fração geratriz dessa dízima periódica, devemos identificar-lhe o período que nada mais é do que o algarismo ou grupo de algarismos que se repete(m) infinitamente.
No exemplo dado, o período é o algarismo 5.
DEFINIÇÃO: a fração geratriz de uma dízima periódica simples será uma fração cujo numerador é o período da dízima periódica e o denominador será um número formado por tantos noves quantos forem os algarismos do período.
Como o período 5 só tem um algarismo, então a fração geratriz da dízima periódica será: 5/9.
Outro exemplo: 1,128128128...
Observe que agora termos uma parte inteira e uma parte decimal na dízima periódica cujo período é 128.
Nesse caso, utilizamos as frações mistas.
1 128/999 = (1 . 999 + 128) / 999 = 1127/999
Vamos agora para as dízimas periódicas compostas.
Exemplo: 0,25333...
Observe que essa dízima periódica tem uma parte não-periódica no início de sua parte decimal e uma parte periódica em seguida que se repete infinitamente.
Damos o nome de não-período à essa parte não-periódica e período, como já visto, à parte periódica.
O não-período dessa dízima periódica é 25 e o período é 3.
A fração geratriz de uma dízima composta será a fração cujo numerador é formado pelo número contendo os algarismos do não-período juntamente com os algarismos do período, subtraído do não-período, e o denominador será formado por um número contendo tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos do não-período.
Logo: 0,25333 = (253 - 25)/900