Question

Calcule a integral de cada uma das funções pelos metodos de integração por partes e pelo método de substituição em u.
a)integral de senx cosx dx
b)integral de (x^3) / (raiz de x^2+1) dx

Answer 1

$\int\limits {senx\cdot cosx} \, dx \\ \textbf{(I)\ Integra{\c c}\~ao por substitui{\c c}\~ao} \\ \\ u = senx \ \ \ du=cosxdx \\ \\ \int\limits{u} \, du = \frac{u^2}{2}=\frac{sen^2(x)}{2} + C \\ \\ \textbf{(II)\ Integra{\c c}\~ao por partes} \\ \\ u= senx \ \ \ du = cosxdx \\ dv = cosxdx \ \ \ v = senx \\ \\ \int\limits{senx\cdot cosx} \, dx = sen^2(x) - \int\limits {senx\cdot cosx} \, dx \\\int\limits{senx\cdot cosx} \, dx +\int\limits {senx\cdot cosx} \, dx= sen^2(x)$

$2\cdot \int\limits{senx\cdot cosx} \, dx = sen^2x \\ \int\limits{senx\cdot cosx} \, dx=\frac{sen^2x}{2}+C$

$\int\limits{\frac{x^3}{\sqrt{x^2+1}}} \, dx = \int\limits{\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}} \, xdx\\ \\ \textbf{(I)\ Intregra{\c c}\~ao por substitui{\c c}\~ao} \\ \\ u = x^2+1 \ \ \Rightarrow \ \ x^2=u-1 \\ du = 2xdx \ \ \Rightarrow \ \ \frac{1}{2}du = xdx \\ \\ \frac{1}{2}\int\limits{\frac{u-1}{\sqrt{u}}} \, du = \frac{1}{2}[\int\limits{\frac{u}{\sqrt{u}}} \, du - \int\limits{\frac{1}{\sqrt{u}}} \, du] = \frac{1}{2}[\int\limits{{u^{\frac{1}{2}}}} \, du - \int\limits{u^{-\frac{1}{2}}}} \, du]$

$\frac{1}{2}[\int\limits{{u^{\frac{1}{2}}}} \, du - \int\limits{u^{-\frac{1}{2}}}} \, du] \\ \frac{1}{2}[\frac{2u^{\frac{3}{2}}}{3} + 2u^{\frac{1}{2}}] = \frac{\sqrt{(x^2+1)^3}}{3}+\sqrt{x^2+1} + c$