Question

dispõe-se de uma folha de papel retangular medindo 20cm de largura por 24cm de comprimento. Deseja-se recortar nas quinas da folha 4 quadrados iguais conforme mostra a figura abaixo. Quando deve medir o lado de cada quadrado para que a area da regiao sombreada seja maxima?

Answer 1

Como cada quadradinho tem medida x, então na parte sombreada temos dois retângulos de base 24 - 2x e altura x e dois retângulos de base 20 - 2x e altura x.

Lembrando que a área do retângulo é igual ao produto da base pela altura, temos que a área sombreada é igual a:

As = (24 - 2x)x + (24 - 2x)x + (20 - 2x)x + (20 - 2x)x

As = 24x - 2x² + 24x - 2x² + 20x - 2x² + 20x - 2x²

As = -8x² + 88x

Perceba que a equação da área sombreada é do segundo grau.

Como a < 0, então a parábola possui ponto de máximo.

Para calcular o ponto de máximo, utilizaremos a fórmula do x do vértice e y do vértice:

$x_v=-\frac{b}{2a}$ e $y_v = -\frac{\Delta}{4a}$

Como a = -8, b = 88 e c = 0:

$x_v = -\frac{88}{2(-8)} = 5,5$

$y_v = -\frac{(88)^2}{4(-8)} = 242$

Portanto, quando x = 5,5 cm, a área sombreada será máxima, ou seja, a área será igual a 242 cm².