Question

um objeto e solto do repouso de uma altura H no instante t=0 e atinge o solo no instante t=10s.Calcule a altura H(considere a resist~encia do ar desprezivel e g=10m/s2

Answer 1

O primeiro objeto tem a equação horária
$H =\dfrac{gt^2}{2}$ (queda livre)

4 segundos depois terá percorrido:
$h = \dfrac{10\times4^2}{2}$
$h = 80 m$

Então a altura do primeiro objeto quando o segundo objeto foi lançado é
$h_0 = H - 80$

e sua velocidade:
$v = v_0 - gt$
$v=0-10\times4$
$v = - 40 m/s$

Esta será a altura (incial) do primeiro objeto quando o segundo objeto é lançado, assim
$h_1 = h_0 + v_0 t' - \frac{gt'^2}{2}$
$h_1 = (H - 80) - 40 t' - \frac{10t'^2}{2}$
$h_1 = (H - 80) - 40 t' - 5 t'^2$

O tempo que leva para tocar o solo, h1 = 0m, é
$0 = (H - 80) - 40 t' - 5 t'^2$
$0 = (16 - \frac{H}{5}) + 8 t' + t'^2$
aonde dividimos por -5

As raízes serão
$t'=\dfrac{-8\pm\sqrt{8^8-4(16-\frac{H}{5})}}{2}$

$t' = \dfrac{-8\pm\sqrt{64-64+\frac{4H}{5}}}{2}$

$t' = \dfrac{-8\pm \sqrt{\frac{4H}{5}}}{2}$

$t' = -8\pm\sqrt{\frac{H}{5}}$

Lembre-se que o tempo não pode ser negativo assim a solução matemática e física será
$t' = -4 + \sqrt{\frac{4}{5}$


Para o segundo objeto foi dado que
$v_2 = - 80 m/s$

Assim
$h_2 = h_{0'} + v_{0'} t' - \frac{gt'^2}{2}$
aonde $h_{0'}$ é a altura na qual o segundo objeto é lançado, então 
$h_2 = H - 80 t' - \frac{10t'^2}{2}$
$h_2 = H - 80 t' - 5 t'^2$

O tempo que o segundo objeto gasta para atingir o solo (h2 = 0 m) é então
$0 = H - 80 t' - 5 t'^2$
$t'^2 + 16 t' - \frac{H}{5}$

As raízes serão
$t'=\dfrac{-16\pm\sqrt{16^2-4(-\frac{H}{5})}}{2}$
$t'=\dfrac{-16\pm\sqrt{256+\frac{H}{5}}}{2}$
$t'=\dfrac{-8\pm\sqrt{256+\frac{4H}{5}}}{2}$
$t'=-8\pm \sqrt{64+\frac{H}{5}}$

novamente o tempo não pode ser negativo assim a solução matemática e física será
$t' = -8 + \sqrt{64+\dfrac{H}{5}}$

Como t' para os dois objetos é igual então

$-8 + \sqrt{64+\dfrac{H}{5}} = -4 + \sqrt{\dfrac{H}{5}}$

$\sqrt{65+\dfrac{H}{5}}=4+\dfrac{H}{5}$

$64 + \dfrac{H}{5}=(4+\sqrt{\dfrac{H}{5}})^2$

$64 + \dfrac{H}{5} = 16 + 8 \sqrt{\dfrac{H}{5}} + \dfrac{H}{5}$

$48 = 8\sqrt{\dfrac{H}{5}}$

$6 = \sqrt{\dfrac{H}{5}}$

$36 = \dfrac{H}{5}$


portanto
$H = 180 m$