Question

A equação x2+y2+4x-6y+m=0 representa uma circunferência se, e somente se:
A) m>0
B) m<0
C) m>13
D) m> -13
E) m< 13

Answer 1

Para que a equação $\mathsf{x^2+y^2+4x-6y+m=0}$  represente uma circunferência, deve-se ter $\mathsf{m<13}$.

Explicação passo a passo:

A equação reduzida de uma circunferência de centro C(a, b) e raio r  é dada pela seguinte forma:

$\mathsf{{(x-a)}^2+{(y-a)}^2=r^2}$

Vamos colocar a equação $\mathsf{x^2+y^2+4x-6y+m=0}$ na forma reduzida usando o método de completar quadrado. Observe:

$\mathsf{x^2+y^2+4x-6y+m=0}\implies\\\\\implies\mathsf{x^2+4x+y^2-6y=-m}\implies\\\\\implies\mathsf{x^2+4x+2^2+y^2-6y+3^2=-m+2^2+3^2}\implies\\\\\implies\mathsf{{(x+2)}^2+{(y-3)}^{2}=-m+4+9}\implies\\\\\implies\mathsf{{(x+2)}^2+{(y-3)}^{2}=-m+13}$

Para que a equação $\mathsf{{(x+2)}^2+{(y-3)}^{2}=-m+13}$ represente uma circunferência, deve-se ter $\mathsf{-m+13>0}$, já que $\mathsf{-m+13}$ é o quadrado do raio. Desse modo:

$\mathsf{-m+13>0}\implies\\\\\implies\mathsf{-m>-13}\implies\\\\\implies\boxed{\mathsf{m<13}}$

Resposta: alternativa e) m < 13