Question

Seja a um número real. Considere os sistemas lineares em x,y e z. Calcule o valor de a para que o sistema (imagem)

Answer 1

Completando a questão:

{x + y - z = 0

{x - 3y + z = 1 admita infinitas soluções

{-2y + z = a

Primeiramente, vamos escrever o sistema acima na forma de uma matriz aumentada:

$\left[\begin{array}{ccc}1&1&-1|0\\1&-3&1|1\\0&-2&1|a\end{array}\right]$

Agora, precisamos escalonar essa matriz.

Sendo assim, fazendo L2 ← L2 - L1:

$\left[\begin{array}{ccc}1&1&-1|0\\0&-4&2|1\\0&-2&1|a\end{array}\right]$

Fazendo L3 ← L3 - L2/2:

$\left[\begin{array}{ccc}1&1&-1|0\\0&-4&2|1\\0&0&0|a-\frac{1}{2}\end{array}\right]$

Perceba que foi formado um triângulo de 0 no canto inferior esquerdo. Isso significa que a matriz foi escalonada.

Para que o sistema possua infinitas soluções, $a-\frac{1}{2}$ tem que ser igual a 0.

Portanto o valor de "a" é igual a $\frac{1}{2}$