Question

A precipitação pluviométrica anual numa certa região tem desviopadrão σ = 3,1 e média desconhecida. Para os últimos 9 anos, foram obtidos osseguintes resultados: 30,5; 34,1; 27,9; 35,0; 26,9; 30,2; 28,3; 31,7; 25,8.

A) Construa um intervalo de confiança para a média com 95% de confiança.
B) Há evidências de que a média pluviométrica dos últimos 9 anos é diferente de 30?

Answer 1

Primeiro calcula a média ($\bar{x}$):

$\bar{x}=\frac{30,5+34,1+27,9+35+26,9+30,2+28,3+31,7+25,8}{9}\\ \\ \bar{x}=30,04$

Agora calcula o intervalo de confiança (IC):

$IC=30,04-1,96~\frac{3,1}{\sqrt{9}}< ~\mu~< 30,04+1,96~\frac{3,1}{\sqrt{9}}\\ \\ IC=30,04-1,96*1,033<~\mu~< 30,04+1,96*1,033 \\ \\ IC=30,04-2,025< ~\mu~< 30,04+2,025\\ \\ IC=28,015< ~\mu~< 32,065$

Não há evidências de que a média pluviométrica é diferente de 30.

Answer 2

a)

ξ é a média amostral

μ é a média da população

variância = 3,1²    da população

n=9 .....número de amostras

ξ ~ N(μ , 3,1²/n)  ...................ξ ~ N(μ , 3,1²/9)           ....distribuição da amostra 

X ~ N(μ  ,3,1²)              ....distribuição da população

Padronizando a N(μ , 3,1²/9)

   ξ - μ

------------    ~      N(0,1)

√(3,1²/9)

Usando o método do Pivot

             ξ - μ

P[ -z ≤ --------- ≤ z ] = 95%

         √(3,1²/9)

P[ -z * √(3,1²/9) ≤ ξ - μ ≤ z * √(3,1²/9) ] = 95%

P[ -z * √(3,1²/9) - ξ ≤ - μ ≤ z * √(3,1²/9) - ξ ] = 95%

P[ -z * √(3,1²/9) + ξ ≤ μ ≥ z * √(3,1²/9) + ξ ] = 95%

ξ = (30,5+34,1+27,9+35,0+ 26,9+30,2+ 28,3+ 31,7+ 25,8)/9 = 30,044

z ==> tabela da normal padronizada

z é o Quartil da normal padronizada N(0,1) ==> (1+0,95)/2 =0,975

z =1,96

P[ -1,96 * √(3,1²/9) + 30,044 ≤ μ ≥ 1,96 * √(3,1²/9) + 30,044] = 95%

P[ 28,0187 ≤ μ ≥ 32,07] = 95%

IC (95%)=[ 32,07 ; 28,02]

b)

Não  temos evidência que a média seja diferente de 30 (exatamente igual a 30) , também não temos evidências que seja 30 .

Temos uma confiança de 95% de que a precipitação pluviométrica anual nesta região esteja no intervalo [ 32,07 ; 28,02] ....

a confiança de 95% é de que a temperatura possa ser 28,5 ou 30,0 ou 31,0 por exemplo, a confiança de 95% é no intervalo....