Question

Mostre que para quaisquer números naturais a, b, c e d
- se a <=b e b < c, então a < c

Answer 1

Tome a, b e c números naturais arbitrários e suponha que a ≤ b e b <c. Queremos mostrar que a < c.

Primeiramente observe que de a≤b sabemos que existe um número natural x tal que

b = a + x (1)

Agora de b<c sabemos que existe um número natural não nulo y tal que

c = b + y (2)

Substituindo (1) em (2) obtemos que

c = (a + x ) +y (3)

Além disso, segue da associatividade da adição e de (3) que

c = a + ( x + y ) (4)

Por fim, veja que como x é um número natural e y é um número natural não nulo, temos que x + y é um numero natural não nulo , Portanto,

a < c