Question

Encontre três ângulos internos de um triângulo, sabendo que eles estão em P.A e que o maior é o quíntuplo do menor.

Answer 1

A soma dos ângulos de um triângulo tem que resultar em 180.
a + b +c = 180

O terceiro termo, c, é 5x o primeiro termo, a

Como estão organizados em P.A
An = A1 + (n-1)q
A3 = A1 + (3-1)q
5a = a + 2q
4a = 2q
q = 2a

Isso mostra que a razão entre os ângulos é de 2a; logo, organizamos assim a = a, b = a + 2a, c = a + 4a

Voltando a primeira expressão...
a + 3a + 5a = 180
9a = 180
a = 20

Se a = 20
b = 60
c = 100
resultando, em 180

Answer 2

Os termos da PA são a1 , a2 , a3. Sabendo que é um triângulo, temos que:

a1+a2+a3= 180 (1)

Como não sabemos o valor de a1 chamaremos de x, então a1 = y. Se é uma PA a2 = y+r (razão) e a3 = y + 2r. Substituindo na equação (1), fica:

y + y + r + y + 2r =180 -> 3y + 3r = 180 (simplificando por 3 ) -> y + r = 60 (2)

é informado que a3 = 5 x a1 . Substituindo os termos da PA pelos valores fica:

y + 2r= 5 x y ( isolaremos o r para poder substituir na equação (2) ) -> r = 2y

y + 2y = 60 -> y = 20. Se a1 é igual 20 e a3 = 5 x a1, logo a3 = 100, para chegar no 180º falta 60 que é o a2.

Então nossa PA é 20 , 60 e 100. Logo os ângulos são 20º, 60º e 100º.