Question

2.7 um agricultor acha que, se colher sua safra de macas agora, obterá
1000 caixas da fruta, que pode vender a R$3,00 a caixa. Entretanto, ele
estima que a sua safra aumentará de 120 caixas de macas para cada
semana que ele postergue a colheita, mas que o preço decairá à razão de
R$ 0,15 (15 centavos) a cada caixa por semana; estima, ainda que
aproximadamente 20 caixas se estragarão semanalmente para cada
semana que ele adie a colheita. Quando deve ele colher a safra a fim de
obter o maior retorno possível em dinheiro? Quanto ele receberá pela
venda da safra?

Answer 1

Seja X a quantidade de semanas adiadas e Y o valor total em dinheiro.

Temos que, se ele adiar em X semanas a colheita, a quantidade de caixas que ele terá é de 1000 + 120X - 20X = 1000 + 100X

Também temos que o preço da caixa cai 0,15 centavos cada semana adiada. Então, o preço da caixa pode ser representado por 3 - 0,15X

Multiplicando os dois, obtemos o valor em dinheiro:

Y = (1000 + 100X) . (3 - 0,15X) = 3000 + 150X - 15X² 

esta equação é uma parábola com concavidade para baixo, e portanto tem um ponto de máximo (xm, ym):

xm = -b/2a = -150/(-2 .15) = 5  ----> logo, ele deve adiar a colheita em 5 semanas.

Para saber o valor que ele vai receber, é só substituir X por 5:

Y = 3000 + 150 . 5 - 15 . 5² = 3375 reais