Question

Sejam µ1 e µ2 planos com equações x + y + 2z – 3 = 0 e –x – y + 2z – 5 = 0. Neste sentido, analise as afirmativas seguintes.

I - Os vetores n1 = (1, 1, 2) e n2 = (–1, –1, 2) são vetores normais (ortogonais) aos planos µ1 e µ2 respectivamente.
II - Se ß é o ângulo formado pelos planos µ1 e µ2, então, ß = arccos(1/3)
III - O produto vetorial n1 x n2 = (4, –4, 0) tem a mesma direção que da reta r obtida pela interseção dos planos µ1 e µ2
IV - As equações paramétricas da reta r que pertence à interseção dos planos µ1 e µ2, e que passa pelo ponto A(0, –1, 2), são

V - Uma reta s cujas equações paramétricas são

é paralela à reta r

Answer 1

alternativa IV é a opção correta.

apenas a resposta I é errada.

Answer 2

Analisando as afirmações, temos:

I. (CORRETA)

O vetor ortogonal a um plano tem suas componentes dadas pelos coeficientes de x, y e z da equação geral do plano, ou seja, n = (a, b, c). Neste caso, temos o vetor (1, 1, 2) ortogonal a µ1 e o vetor (-1, -1, 2) ortogonal a µ2.

II. (CORRETA)

O ângulo entre os planos é o mesmo que o ângulo entre seus vetores normais:

cos ß = n1·n2 / |n1|.|n2|

cos ß = (1(-1) + 1(-1) + 2.2)/√(1²+1²+2²).√((-1)²+(-1²)+2²)

cos ß = 2/√6√6

cos ß = 2/6

cos ß = 1/3

ß = arccos(1/3)

III. (CORRETA)

A interseção entre os planos é:

x + y + 2z – 3 = –x – y + 2z – 5

2x + 2y + 2 = 0

x + y = -2

O vetor (4, -4, 0) pertence a reta x + y = 0, como os coeficientes angulares são iguais, elas são paralelas e tem a mesma direção.

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