Question

A solução particular da equação y"-3y'-2y=e^(3x), é a função exponencial representada na alternativa

Answer 1

d²(y)/dx² -3d(y)/dx -2y =e^(3x)

Equação diferencial não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:

Esta eq. pode ser escrita como:

y=yh+yp

yh: solução para EDO homogênea;

yp: solução particular, satisfaça a eq. não homogênea;

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yh...........

adotar uma solução , y=e^(xt)

d²(e^(xt))/dx² -3d(e^(xt))/dx -2e^(xt) =0

t²*e^(xt) -3*t*e^(x) -2*e^(xt)=0

e^(xt) * (t²-3t-2)=0

****e^(xt) nunca será igual a zero

t²-3t-2=0

t₁=(3+√17)/2 e t₂=(3-√17)/2

raízes Reais diferentes ==>y=c1*e^(xt₁) +c2*e^(xt₂)

yh=c₁*e^(x*(3+√17)/2) +c₂*e^(x*(3-√17)/2)

##############################

yp...........

Para a parte não homogênea g(x)=e^(3x), assumir uma solução com a forma:

y=a₀*e^(3x)

d²(a₀*e^(3x))/dx² -3d(a₀*e^(3x))/dx -2a₀*e^(3x) =e^(3x)

d²(a₀*e^(3x))/dx²=9a₀*e^(3x)

3d(a₀*e^(3x))/dx=9 *a₀*e^(3x)

9a₀*e^(3x) - 9 *a₀*e^(3x) -2a₀*e^(3x) =e^(3x)

-2a₀*e^(3x) =e^(3x)

-2a₀=1 ==>a₀=-1/2

y=a₀*e^(3x)

y=(-1/2)* e^(3x)

Uma solução particular é yp=-(e^(3x))/2

A solução geral y=yh+yp é :

y=c₁*e^(x*(3+√17)/2) +c₂*e^(x*(3-√17)/2) -(e^(3x))/2

Answer 2

Resposta:

-0,50$e^{3x}$

Explicação passo-a-passo:

y=A$e^{3x}$

y'=3A$e^{3x}$

y''=9A$e^{3x}$

*Substituindo na equação.

9A$e^{3x}$-3.(3A$e^{3x}$)-2A$e^{3x}$=$e^{3x}$

9A$e^{3x}$-9A$e^{3x}$-2A$e^{3x}$=$e^{3x}$

-2A$e^{3x}$=$e^{3x}$

-2A=1

A=$-\frac{1}{2}$ $e^{3x}$

Logo concluir que a resposta é

$-\frac{1}{2}$ $e^{3x}$ ou -0,50$e^{3x}$