em um grupo de amigos, após um churrasco, na despedida, 153 abraços foram trocados. Sabendo que cada amigo abraçou cada um dos outros exatamente uma vez, quantos amigos estavam no churrasco
Respostas
Amigos: n e 153 abraços
Trata-se de combinação simples.
Cn, 2 = 153 => n l / (n-2)l 2l = 153
....................................n.(n - 1).(n - 2)l / (n -2)l 2 = 153
....................................n(n -1) = 2 . 153
....................................n² - n = 306
....................................n² - n - 306 = 0 (eq do 2º grau)
a = 1
b = - 1
c = - 306
Delta = (- 1)² - 4 . 1 . - 306) = 1 + 1.224 = 1.225
n = ( - (-1) +- raiz de 1.225) : 2 . 1 = ( 1 +- 35) : 2
n = 1 + 35) : 2 = 36 : 2 = 18 ou n = (1 - 35) : 2 = - 34 : 2 = - 17 (não con-
vém).
Resposta: 18 amigos.
(Verificação: partindo do 1º ao 18°, a sequência de abraços é:
17 + 16 + 15 + 14 + 13 + 12 + 11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1
= (17+1) + (16+2) + (15+3) + (14+4) + (13+5) + (12+6) + (11+7) + (10+8) + 9
= 18 + 18 + 18 + 18 + 18 + 18 + 18 + 18 + 9
= 8 . 1 8 + 9 = 144 + 9 = 153.
Resposta:
o número de pessoas presentes foi de 18 pessoas
Explicação passo-a-passo:
.
Note que a ordem não é importante ..porque o abraço entre "A" e "B" ..é o mesmo que o abraço entre "B" e "A" ..donde a resolução terá de ser por Combinação Simples
assim e considerando "n" como o número de pessoas teremos:
C(n,2) = 153
n!/2!(n-2)! = 153
n.(n-1).(n-2!)/2(n-2)! = 153
n.(n-1)/2 = 153
n.(n-1) = 306
n² - n = 306
n² - n - 306 = 0
..resolvendo obtemos n1 = 18 ..e n2 = -17 ..como não há fatorial de números negativos só interessa n = 18
como n = 18 ..então o número de pessoas presentes foi de 18 pessoas
..
confirmando:
C(18,2) = 153
18!/2!(18-2)! = 153
18.17.16!/2!16! = 153
18.17/2! = 153
18.17/2 = 153
306/2 = 153
153 = 153 ...está confirmado
Espero ter ajudado