Question

DEMONSTRE A SEGUINTE IDENTIDADE TRIGONOMETRICA : (tg x - sen x)² + (1 - cos x)² = (sec x - 1)²

Answer 1

${( \tan(x) - \sin(x) )}^{2} + {(1 - \cos(x) )}^{2} = \\ = {( \tan(x) )}^{2} - 2 \tan(x) \sin(x) + {( \sin(x) )}^{2} + 1 - 2 \cos(x) + { \cos(x) }^{2} = \\ = {( \tan(x) )}^{2} + 1 + {( \sin(x) )}^{2} + {( \cos(x) )}^{2} - 2 \tan(x) \sin(x) - 2 \cos(x) = \\ = {( \sec(x)) }^{2} + 1 - 2( \frac{ \sin(x) }{ \cos(x) }) \sin(x) + \cos(x) ) = \\ = {( \sec(x)) }^{2} + 1 - 2( \frac{ {( \sin(x) )}^{2} }{ \cos(x) } ) + \cos(x) ) \\ = {( \sec(x)) }^{2} + 1 - 2( \frac{ {( \sin(x) )}^{2} }{ \cos(x) } ) + \frac{ {( \cos(x) )}^{2} }{ \cos(x) } = { \sec(x) }^{2} - 2 \times \frac{1}{ \cos(x) } + 1 = \\ = ( { \sec(x) - 1 })^{2}$