Question

Analise Combinatória

Qual a probabilidade de obter soma igual a 15 dos resultados de cinco dados lançados?

Answer 1

Inicialmente, vamos representar os resultados possíveis de um lançamento de dado através de uma função:

$f(x) = x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 ~~~~~~~~~~~~~~~ (0)$

Nessa função, o coeficiente que acompanha "x" representa a quantidade de maneiras que se pode obter o número "1" no lançamento de um dado, "x²" o número de maneiras que se pode obter o número 2, "x³" o número 3 etc.

Sendo assim, como nosso evento é representado por 5 dados, pode-se encontrar todas as combinações possíveis através da expansão da seguinte função:

$g(x) = (x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)^5 ~~~~~~~~~~~~~~~ (1)$

O coeficiente que acompanhará o termo $x^{15}$ irá representar o número de maneiras que se pode obter soma igual a 15 no lançamento de 5 dados.

Sobre o espaço amostral: como em cada lançamento de dado pode-se obter um valor no intervalo [1, 6], logo, tem-se 6 possibilidades. Como são 5 dados, o espaço amostral será:

$\#\Omega = 6^5 = 7776$

A expansão da equação 1 é extremamente complicada para fazer manualmente através de repetidas multiplicações por conta da quantidade de termos gerados. Devido a isso, pode-se recorrer a duas estratégias:

1) Encontrar uma solução através da computação: calculadoras matemáticas que façam expansão da função ou algoritmos que buscam a resposta numericamente.

2) Manipular a expressão de forma a obter um polinômio que se possa aplicar as regras para o Binômio de Newton.

Quanto a primeira possibilidade:

Expandindo-se g(x), tem-se:

$g(x) = (x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^5 \\ \\ g(x) = x^{30} + 5 x^{29} + 15 x^{28} + 35 x^{27} + 70 x^{26} + \\ \\ 126 x^{25} + 205 x^{24} + 305 x^{23} + 420 x^{22} + 540 x^{21} + \\ \\ 651 x^{20} + 735 x^{19} + 780 x^{18} + 780 x^{17} + 735 x^{16} + \\ \\ 651 x^{15} + 540 x^{14} + 420 x^{13} + 305 x^{12} + 205 x^{11} + \\ \\ 126 x^{10} + 70 x^9 + 35 x^8 + 15 x^7 + 5 x^6 + x^5$

Logo, há 651 maneiras de obter soma igual a 15 ao lançar 5 dados.

Observação: caso você some todos os coeficientes dessa expansão, o resultado será o espaço amostral.

Portanto, a probabilidade desse evento é:

$P(E) = \frac{\#E}{\#\Omega} = \frac{651}{7776} \approx 8,3719\%.$

Deixo anexo um algoritmo em "javascript" que através da geração de números aleatórios (simulando os dados) e força bruta retorna a quantidade de combinações em que a soma dos "dados" é igual a 15.

Já quanto a segunda abordagem:

Inicialmente, vamos definir uma função S(x) como:

$S(x) = x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 ~~~~~~~~~~~~~~~ (2)$

Dividindo ambos os lados por x:

$\frac{S(x)}{x} = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 ~~~~~~~~~~~~~~~ (3)$

Subtraindo-se 3 de 2:

$\frac{S(x)}{x} - S(x) = 1 - x^6 \\ \\ S(x) = \frac{1-x^6}{\frac{1}{x} - 1} = \frac{1-x^6}{\frac{1-x}{x}} \\ \\ S(x) = x \cdot \frac{1-x^6}{1-x} \\ \\ S(x) = x \cdot (1-x^6) \cdot (1-x)^{-1}$

Voltando em f(x) e substituindo o que encontramos em S(x), tem-se:

$f(x) = (x \cdot (1-x^6) \cdot (1-x)^{-1})^{5} \\ \\ f(x) = x^5 \cdot (1-x^6)^5 \cdot (1-x)^{-5} ~~~~~~~~~~~~~~~ (4)$

Pois, agora basta expandir os termos através do Binômio de Newton para potências positivas/negativas, e verificar o coeficiente das situações em que a multiplicação acima irá resultar como termo $x^{15}$.

Expansão para $(1-x^6)^5$:

$(1-x^6)^5 = \\ \\ = C_{5, 0} \cdot (-x^6)^5 \cdot (1)^0 + ... + C_{5, 4} \cdot (-x^6)^1 \cdot (1)^4 + C_{5, 5} \cdot (-x^6)^0 \cdot (1)^5 \\ \\ = C_{5,0} \cdot (-x^{30}) + C_{5,1} \cdot x^{24} + C_{5, 2} \cdot (-x^{18}) + C_{5, 3}\cdot x^{12} + C_{5, 4} \cdot (-x^6) + C_{5, 5}$

Expansão para $(1-x)^{-5}$:

Essa expansão pode ser feita através da fórmula do Binômio de Newton para expoentes negativos ou por expansão em Série de Taylor. Pela fórmula do binômio:

$(1-x)^{-5} = \\ \\ = C_{-5, 0} \cdot (1)^{-1} \cdot (-x)^0 + C_{-5, 1} \cdot (1)^{-2} \cdot (-x)^1 + ... \\ \\ = C_{-5, 0} \cdot (-x)^0 + C_{-5, 1} \cdot (-x)^1 + C_{-5, 2} \cdot (-x)^2 + ...$

A função f(x):

$f(x) = x^5 \cdot (C_{5,0} \cdot (-x^{30}) + C_{5,1} \cdot x^{24} + C_{5, 2} \cdot (-x^{18}) + C_{5, 3}\cdot x^{12} + C_{5, 4} \cdot (-x^6) + C_{5, 5} ) \\ \\ \cdot (C_{-5, 0} \cdot (-x)^0 + C_{-5, 1} \cdot (-x)^1 + C_{-5, 2} \cdot (-x)^2 + ...)$

Portanto, o número de casos em que a soma dos 5 dados será igual a 15:

$\#E = (-C_{5,4} ) \cdot (C_{-5, 4}) + (C_{5, 5}) \cdot (C_{-5, 10}) \\ \\ \#E = (-C_{5, 4}) \cdot (C_{8, 4}) + (C_{5, 5}) \cdot (C_{14, 10}) \\ \\ \#E = 651$

Por fim, a probabilidade é:

$P(E) = \frac{\#E}{\#\Omega} \\ \\ \boxed{P(E) = \frac{651}{6^5}}$