Question

Encontre A e B tais que:
sen (3x) = A sen³x + B senx

Answer 1

Encontrar os valores de A e B, tais que

sen(3x) = A sen³ x + B sen x.

Para esta tarefa, vamos utilizar a identidade do seno e cosseno da soma de dois arcos:

$\mathsf{sen(\alpha+\beta)=sen\,\alpha\,cos\,\beta+sen\,\beta\,cos\,\alpha}$

$\mathsf{cos(\alpha+\beta)=cos\,\alpha\,cos\,\beta-sen\,\alpha\,sen\,\beta}$

Por elas, obtemos as identidades do seno e cosseno do arco duplo:

$\mathsf{sen(2x)=sen(x+x)}\\\\ \mathsf{sen(2x)=sen\,x\,cos\,x+sen\,x\,cos\,x}\\\\ \mathsf{sen(2x)=2\,sen\,x\,cos\,x}$

$\mathsf{cos(2x)=cos(x+x)}\\\\ \mathsf{cos(2x)=cos\,x\,cos\,x-sen\,x\,sen\,x}\\\\ \mathsf{cos(2x)=cos^2\,x-sen^2\,x}$

Dessa forma,

$\mathsf{sen(3x)=sen(2x+x)}\\\\ \mathsf{sen(3x)=sen\,2x\,cos\,x+sen\,x\,cos\,2x}\\\\ \mathsf{sen(3x)=(2\,sen\,x\,cos\,x)\,cos\,x+sen\,x(cos^2\,x-sen^2\,x)}\\\\ \mathsf{sen(3x)=2\,sen\,x\,cos^2\,x+sen\,x\,cos^2\,x-sen^3\,x}\\\\ \mathsf{sen(3x)=3\,sen\,x\,cos^2\,x-sen^3\,x}$

Mas cos² x = 1 − sen² x. Então, ficamos com

$\mathsf{sen(3x)=3\,sen\,x(1-sen^2\,x)-sen^3\,x}\\\\ \mathsf{sen(3x)=3\,sen\,x-3\,sen^3\,x-sen^3\,x}\\\\ \mathsf{sen(3x)=3\,sen\,x-4\,sen^3\,x}\\\\ \mathsf{sen(3x)=-\,4\,sen^3\,x+3\,sen\,x}$

Comparando a igualdade acima com a expressão dada, concluímos que

$\mathsf{A=-\,4\quad e\quad B=3\quad\longleftarrow\quad resposta.}$

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Bons estudos! :-)