A reta y = mx+2 é tangente à circunferência de equação (x-4)² +y² =4. A soma dos possíveis valores de m é:
Respostas
Para determinar os valores de m, vamos calcular a distância entre a reta e o centro da circunferência, que deve ser igual o raio, ou seja:
d = | axo + byo + c | ÷ √(a² + b²) = r
onde:
xo e yo é o ponto do centro da circunferência;
a, b e c são os coeficientes da reta;
r é o raio da circunferência.
A circunferência possui a seguinte fórmula geral: (x² - xo) + (y² - yo) = r²
Desse modo, temos que:
xo = 4
yo = 0
r = 2
Além disso, vamos analisar a reta, que tem fórmula geral: ax + by + c = 0
Então:
a = m
b = -1
c = 2
Com todos os dados, substituímos na equação:
| m×4 + (-1)×0 + 2 | ÷ √(m² + (-1)²) = 2
| 4m + 2| ÷ √(m² + 1) = 2
| 4m + 2| = 2 × √(m² + 1)
Elevando os dois lados ao quadrado, temos:
16m² + 16m + 4 = 4 × (m² + 1)
16m² + 16m + 4 = 4m² + 4
12m² + 16m = 0
m × (12m + 16) = 0
Desse modo, temos duas opções:
m = 0 ou
12m + 16 = 0 → m = -4/3
Portanto, a soma dos possíveis valores de m é: -4/3.
De onde veio 12,de onde veio o m=-4/3?