Uma máquina é depreciada de tal forma que, após t anos, seu valor é dado pela função Q(t) = Q0 . e - 0,03t. Após 20 anos, a máquina vale 8 986,58 reais.
a) Calcule seu preço inicial.
b) Utilizando o preço inicial calculado, qual o preço da máquina após 5 anos?
Respostas
a)
Para t = 20, Q(t) = 986,58
b)
Q(t) = ? para t = 5
Vamos lá.
Veja, Afonso, como você não nos respondeu sobre a escrita real da expressão da sua questão, mas considerando o que colocamos nos comentários acima da questão, então vamos dar a nossa resposta.
i) Tem-se que uma máquina é depreciada de tal forma que, após "n" anos, o seu valor é dado pela seguinte função (observação: substituímos a letra "t" pela letra "n" porque o Brainly ainda não colocou à disposição dos usuários a letra "t" como sobrescrita. Então, só por isso, estamos substituindo-a pela letra "n", ok?)
Q(n) = Q0*e⁽⁻⁰ʼ⁰³ⁿ⁾
Tem-se que essa máquina, após 20 anos de uso, passou a valer R$ 8.986,58. Em função disso, são pedidas as seguintes informações:
a) Calcule o seu preço inicial.
e
b) Utilizando o preço inicial calculado, qual o preço da máquina após 5 anos?
ii) Agora vamos por parte. Vamos calcular o que é pedido na letra "a" e o que é pedido na letra "b". Assim teremos:
a) Qual o seu preço inicial?
Veja: para isso, vamos utilizar a fórmula dada, que é esta:
Q(n) = Q0*e⁽⁻⁰ʼ⁰³ⁿ⁾ , e vamos substituir "n" por "20", que é quando a máquina passou a valer R$ 8.986,58. Assim, teremos:
Q(20) = Q0*e⁽⁻⁰ʼ⁰³*²⁰⁾
Q(20) = Q0*e⁽⁻⁰ʼ⁶⁾ ----- note que isto é a mesma coisa que:
Q(20) = Q0*1/e⁽⁰ʼ⁶⁾ ---- ou apenas:
Q(20) = Q0/e⁽⁰ʼ⁶⁾
Agora veja: vamos substituir Q(20) por 8.986,58 (que é o valor que valia a máquina após 20 anos) e vamos substituir "e" por seu valor aproximado, que é de "2,718". Note que o número "e", a exemplo do número "π" tem o seu valor aproximado. Geralmente utiliza-se o π com o valor aproximado de "3,14"; assim, da mesma forma, geralmente se utiliza o número "e" com o seu valor aproximado de "2,718". Então vamos fazer as devidas substituições, ficando:
8.986,58 = Q0/(2,718)⁽⁰ʼ⁶⁾ ---- agora veja que (2,718)⁽⁰ʼ⁶⁾ = 1,822 (bem aproximado). Logo, iremos ficar assim:
8.986,58 = Q0/1,822 ----- multiplicando-se em cruz, teremos:
1,822*8.985,68 = Q0 --- efetuando o produto indicado no 1º membro, ficamos:
16.373,55 = Q0 ---- ou, invertendo-se, o que dá no mesmo, temos:
Q0 = 16.373,55 <--- Este era o preço inicial da máquina. Ou seja, esta é a resposta para o item "a".
b) Utilizando o preço inicial calculado, qual o preço da máquina após 5 anos?
Veja: para isso, vamos repetir a fórmula inicial, que é esta:
Q(n) = Q0*e⁽⁻⁰ʼ⁰³ⁿ⁾
Agora vamos substituir o "n" por "5", já que queremos o valor dessa máquina após 5 anos de uso a partir do preço inicial; vamos substituir o preço inicial (Q0) por seu valor que encontramos lá no item "a" (que foi de R$ 16.373,55) e, finalmente, vamos substituir o número "e" por "2,718", tal como já fizemos na questão anterior. Assim, teremos:
Q(5) = 16.373,55*(2,718)⁽⁻⁰ʼ⁰³*⁵⁾ ----- desenvolvendo, teremos:
Q(5) = 16.373,55*(2,718)⁽⁻⁰ʼ¹⁵⁾ ---- continuando o desenvolvimento:
Q(5) = 16.373,55*1/(2,718)⁽⁰ʼ¹⁵⁾ ---- ou apenas:
Q(5) = 16.373,55/(2,718)⁽⁰ʼ¹⁵⁾ ---- note que (2,718)⁽⁰ʼ¹⁵⁾ = 1,1618 (bem aproximado). Logo:
Q(5) = 16.373,55/1,1618 --- veja que esta divisão dá "14.093,26" (bem aproximado). Logo:
Q(5) = 14.093,26 <--- Esta é a resposta para o item "b". Ou seja, este seria o valor aproximado da máquina após 5 anos de uso.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.