1. Resolva os itens abaixo:
a) Considerando do Gráfico abaixo:
Qual o valor mínimo da
função y = x² + bx + c,
representado pelo gráfico?
---gráfico anexado na imagem acima---
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b) Dada a função f: IR → IR, tal que f(x) = x2 + 4x + k.
Determine o valor de k Є IR, para que a função tenha zeros reais e diferentes.
Respostas
A)
Pelo gráfico, observamos os valores das duas raízes:
x₁ = 0
x₂ = 3
A forma fatorada da função do segundo grau é:
y = a* (x-x₁) * (x-x₂)
Como ele disse que a função é do tipo y = x² + bx + c , e "a" é igual ao número que multiplica o "x²", então a=1, pois 1*x² = x²
y = (x-x₁)*(x-x₂)
y=(x-0)*(x-3)
y=x*(x-3)
y=x²-3x
Essa é a função.
O valor mínimo é o "y" do vértice, e para encontrá-lo precisamos primeiro do "x" do vértice. Perceba que a distância entre as raízes 3 e 0 é 3, pois 3-0 = 3.
Como o Xv vale sempre a metade dessa distância, Xv=3/2=1,5
Substituindo na função, encontramos o valor mínimo da mesma:
y = 1,5² - 3*1,5 = 2,25 - 4,5 = -2,25 = valor mínimo da função.
B)
Para termos dois zeros diferentes ou duas raízes distintas, o valor de delta (Δ) deve ser positivo, isto é, maior que zero.
Como y = x² + 4x + k ,
Δ = (4)² - 4*1*k = 16 -4k
Δ > 0 => 16 -4k > 0 => 4k < 16 => k < 16/4 => k < 4
Solução => S = {k ∈ R | k<4}