Mostre que o produto misto a.(bxc) tem módulo igual ao volume do paralelepípedo formado pelos vetores a,b e c.
Respostas
Olá
Uma das aplicações do Produto Misto está relacionada ao volume dos paralelepípedo. Podemos afirmar que o módulo do produto misto dado entre a, b e c representa o volume do paralelepípedo que tem as 3 arestas próximas dadas também pelos vetores a, b e c, sendo que estes vetores têm a mesma origem. Logo, V(paralelepípedo) = [a, b e c].
Podemos conceber que o produto misto de três vetores consiste na combinação de produtos escalares e vetoriais. Podemos ter as seguintes formas: (1) u.(a b c) e (2) (b x c) x a.
Na forma (1), ao efetuar o produto (a b c) o resultado será um vetor que ao multiplicar escalarmente por u resultará em um escalar.
Temos para essa forma:
Quando a = (x1, y1, z1), b = (x2, y2, z2) e c = (x3, y3, z3),
abc = (y2z3 - z2y3, z2x3 - x2z3, x2y3 - y2x3) e
a.(b x c) = x1.y2z3 - x1z2y3 + y1z2x3 - y1x2z3 + z1x2y3 - z1y2x3 que pode ser concebida como uma escalar igual ao determinante da matriz .
Para a forma dada em (2) temos que:
b.c = x1x2 + y1y2 + z1z2 que é um escalar. Assim, (b.c) x a = (x1x2 + y1y2 + z1z2).(x3, y3, z3) que é um vetor.
No caso de (b.c) x a, o sinal de x pode trocado ponto.
Espero ter ajudado!
Resposta:
nao sei
Explicação: