Question

Prove por indução finita, que:
[(5^n) + (2.11^n)] é divisor de 3.

Prove por indução finita, que:
[(5^2n) (-1)] é um divisor de 8.

Answer 1

Eu consegui provar o primeiro, se eu conseguir o segundo eu edito a resposta:

após substituir o n por alguns valores e ver que expressão vale (base), podemos substituir n por k e, supondo que a expressão vale, provar para k + 1

n = k

$5^{k} + 2 * 11^{k}$

n = k + 1

$5^{k + 1} + 2 * 11^{k + 1} = 5^{k} * 5 + 2 * 11^{k} * 11 = 5(5^{k} + 2*11^{k} ) + 6 * 2 * 11^{k}$

Perceba que nossa suposição apareceu dentro do parentes sendo multiplicado por 5, logo é divisível por 3 (supomos isso anteriormente) e o outro termo esta sendo multiplicado por 6, logo também eh divisível por 3