Question

Considere o plano π que é perpendicular aos planos 2x + y - 3z + 2 = 0 e x - y + 4z - 1 = 0 e passa pelo ponto P = (1, -1, 0) e seja L a reta perpendicular ao plano π e que passa pela origem. Determine:

a) as equações da reta L e do plano π

b) o ponto P interseção da reta L com o plano π

c) encontre a distancia do ponto -P ao plano π

Answer 1

Se π é perpendicular a os dois planos mencionados, os vetores normais a cada um deles pertencem ao plano π. O ponto P(1, -1, 0) também pertence ao plano π.

Os vetores normais são :

u = (2, 1, -3)

v = (1, -1, 4)

Assim, um ponto genérico K(x, y, z) pertence ao plano π se, e somente se, PK, u e v forem coplanares, ou seja, pertencerem ao plano π.

Se três vetores são coplanares, então o produto misto é zero, ou seja, o determinante formado por PK, u e v é zero:

PK = K - P = (x, y, z) - (1, -1, 0) = (x-1, y + 1, z)

$\left[\begin{array}{ccc}x-1&y+1&z\\2&1&-3\\1&-1&4\end{array}\right] =0 \\ \\ (x-1). (1.4 - (-1).(-3)) - (y+1) . (2.4-1.(-3))+z.(2.(-1)-1.1)=0 \\ \\ (x-1). (4 - 3) - (y+1) . (8+3)+z.(-2-1)=0 \\ \\ (x-1). 1 - (y+1) . 11+z.(-3)=0\\ \\ x-1 - 11y-11-3z=0 \\ \\ \boxed{\boxed{x - 11y - 3z - 12 = 0 }}$

L é a reta que é perpendicular ao plano π e passa pela origem O(0, 0, 0).

Assim a reta L tem a direção do vetor normal a π e passa por (0, 0, 0)

Considerando um ponto genérico T(x, y, z) e que o vetor normal a π é w = (1, -11, -3) podemos escrever a equação da reta:

OT = αw

T - O = αw

T = O + αw

(x, y, z) = (0, 0, 0) + α(1, -11, -3) equação vetorial de L

x = α

y = -11α

z = -3α

Paramétricas

b) Para encontrar o ponto de interseção de L com o plano π, podemos substituir os valores de x, y e z da reta, na equação do plano:

x - 11y - 3z - 12 = 0

α - 11.(-11α) - 3. (-3α) - 12 = 0

α + 121α + 9α - 12 = 0

131α = 12

α = 12/131

x = α ==> x = 12/131

y = -11α ===> y = -11 . 12/131 = -132/131

z = -3α ===> z = -3 . 12/131 = -36/131

Assim, o ponto P de interseção será (12/131, -132/131, -36/131)

c) A distância entre um ponto e um plano é calculada por:

$d = \frac{|a.x0+b.y0+c.z0+d|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

O ponto -P = (-12/131, 132/131, 36/131)

π : x - 11y - 3z - 12 = 0

Assim,

$d = \frac{|1.(-\frac{12}{131})-11.(\frac{132}{131})-3.(\frac{36}{131})-12|}{\sqrt{1^{2}+(-11)^{2}+(-3)^{2}}} \\ \\ d = \frac{|-\frac{12}{131}-\frac{1452}{131}-\frac{108}{131}-12|}{\sqrt{1+121+9}} \\ \\ d = \frac{|-24|}{\sqrt{131}} \\ \\ d = \frac{24}{\sqrt{131}} .\frac{\sqrt{131}}{\sqrt{131}} \\ \\ \boxed{\boxed{d = \frac{24\sqrt{131}}{131} }}$