Question

Dados u=(-x-1,2,1),v=(-3,x,1) e w=(x-4,0,1), determine x para que os vetores u,v e w sejam coplanares e dois a dois não paralelos.Para esse valor de x,escreva w como combinação linear de u e v.

Answer 1

u = (-x - 1, 2, 1)

v = (-3, x, 1)

w = (x - 4, 0, 1)

Para que sejam coplanares o determinante de uma matriz formada por eles tem que dar 0

$\left[\begin{array}{ccc}-x - 1&2&1\\-3&x&1\\x-4&0&1\end{array}\right]$

((-x - 1) . x . 1 + 2 . 1 . (x - 4) + 1 . (-3) . 0) - (1 . x . (x-4) + (x - 1) . 1 .0 + 2 .(-3) . 1) = 0

((-x² - x) + (2x - 8) + 0) - ((x² - 4x) + 0 - 6) = 0

-x² - x + 2x - 8 - (x² - 4x - 6) = 0

-x² + x - 8 - x² + 4x + 6 = 0

-2x² + 5x - 2 = 0

Δ = b² - 4.a.c

Δ = 5² - 4 . -2 . -2

Δ = 25 - 4. -2 . -2

Δ = 9

Há 2 raízes reais.

x = (-b +- √Δ)/2a

x' = (-5 + √9)/2.-2

x'' = (-5 - √9)/2.-2

x' = -2 / -4

x'' = -8 / -4

x' = 1/2

x'' = 2

Temos então um pequeno problema, dois valores de x. Voltando ao enunciado vemos que ele diz que eles devem ser dois a dois não paralelos.

Sabemos que um vetor é paralelo a outro se ele for múltiplo do outro, então,

(-x -1, 2, 1) . k = (-3, x, 1)

Se nós substituirmos x por 2 teremos

(-2 -1, 2, 1).k = (-3, 2, 1)

(-3, 2, 1).k = (-3, 2, 1)

Vemos que os vetores são exatamente iguais, então, k = 1, se k existe, então eles são paralelos, x portanto não pode ser 2. Substituindo por 1/2 temos

(-1/2 - 1, 2, 1).k = (-3, 1/2, 1)

(-3/2, 2, 1).k = (-3, 1/2, 1)

Vamos analisar, se nós quisermos que -3/2 vire -3, temos que multiplicar por 2

Se 2 for virar 1/2 temos que multiplicar por 1/2

Então temos uma impossibilidade para o valor de k, já que se adotarmos 2 o y não será igual e se adotarmos 1/2 o x não será igual, se adotarmos 1 tanto x quanto y não serão iguais. Então, x = 1/2.

u = (-3/2, 2, 1)

v = (-3, 1/2, 1)

w = (-7/2, 0, 1)

Combinação linear:

w = αu + βv

(-7/2, 0, 1) = α.(-3/2, 2, 1) + β.(-3, 1/2, 1)

-7/2 = -3α/2 - 3β

0 = 2α + β/2

1 = α + β

Multiplicando a primeira equação por -2 temos

7 = 3α + 6β

Multiplicando a segunda equação por 2 temos:

0 = 4α + β

1 = α + β

Então,

7 = 3α + 6β

0 = 4α + β

1 = α + β => β = 1 - α

0 = 4α + (1 - α)

0 = 4α + 1 - α

0 = 3α + 1

3α = -1

α = -1/3

β = 1 - (-1/3)

β = 1 + 1/3

β = 4/3

Então,

w = αu + βv

w = -1u/3 + 4v/3