Question

No triângulo ABC, de hipotenusa a, tem-se que a-b=2 e a-c=9. Determine a área do triângulo.

obs: não tem imagem, não exclua a minha pergunta ADMS!!

Answer 1

Se a-b=2 ---> a-2 = b ---> b = a-2

Se a-c=9 ---> a-9 = c ---> c = a-9

Para achar "a" vamos aplicar o teorema de pitágoras:

a² = b² + c²

a² = (a-2)² + (a-9)²

a² = a² - 4a + 4 + a² - 18a + 81

a² -22a + 85 = 0

Δ = (-22)² - 4*(1)*(85) = 484 - 340 = 144

√Δ = √144 = 12

a₁ = [-(-22) + 12]2*1 = (22+12)/2 = 34/2 = 17

a₂ [-(-22) - 12]2*1 = (22-12)/2 = 10/2 = 5

Então temos, aparentemente, dois valores para a.

a = 17 ou a = 5 .

Como o lado c = a-9 , perceba que se substituirmos a=5, ficaremos com:

c = 5-9 = -4 o que é absurdo! pois não há lado negativo. Portanto, a=5 não convém, é absurdo.

Logo, a=17

Como b = a-2 ---> b = 17-2 = 15

E como c = a-9 ---> c = 17 - 9 = 8

Num triângulo retângulo, a área é dada pela metade do produto de um cateto pelo outro.

Enfim, a área será:

A = (8*15)/2 = 4*15 => A = 60 u.a. (unidades de área).

Answer 2

b = a-2
c = a-9

Vamos a Pitágoras:
${a}^{2} = {b}^{2} + {c}^{2} \\ {a}^{2} = {(a - 2)}^{2} + {(a - 9)}^{2} \\ {a}^{2} = {a}^{2} - 4a + 4 + {a}^{2} - 18a + 81 \\ {a}^{2} - 22a + 85 = 0 \\ {( - 22)}^{2} - 4 \times 1 \times 85 \\ 484 - 340 = \\ 144 \\ \frac{22 + - \sqrt{144} }{2 \times 1} = \\ \frac{22 + - 12}{2} = \\ \frac{34}{2} = 17 \\ ou \\ \frac{10}{2} = 5$
A não pode ser 5, senão c seria um número negativo. Portanto, a = 17

Se a=17:
b = 17-2 = 15
c = 17-9 = 8

Sendo um triângulo retângulo, os catetos representam base e altura:

$\frac{cat1 \times cat2}{2} = \frac{15 \times 8}{2} = 15 \times 4 = \\ 60$

Resposta: A área do triângulo é 60 u.a.