Question

Dada a função f(x) =
$k {x}^{2} - 2kx \: - 1$
. calcule o valor de k para que assuma valores sejam negativos para todo x real.

Answer 1

Para uma função quadrática ser estritamente negativa, duas condições devem ser satisfeitas:

1) O coeficiente "a" deve ser negativo. a < 0 . No prolema, a = k .

Portanto , k < 0 (Condição 1).

2) O valor de delta (Δ) deve ser negativo, para que a parábola esteja toda abaixo do eixo x, isto é, apenas apresente valores negativos para y=f(x). Desse modo, a parábola não cortará o eixo x.

Como Δ = b² -4*a*c ----> Δ = (-2k)² -4*k*(-1) = 4k² + 4k

Como Δ < 0 ---> 4k² + 4k < 0 . Dividindo ambos os lados da inequação por 4, fica:

k² + k < 0

- Vamos resolver a inequação k² + k < 0 . Para isso, vamos primeiro encontrar as raízes de k² + k = 0 .

k² + k = 0

Colocando k em evidência:

k*(k+1) = 0

k = 0 ou k + 1 = 0 ---> k = -1

Logo, as raízes são k₁ = -1 e k₂ = 0

Perceba que o coeficiente "a" da equação k² + k = 0 é positivo, pois o número que multiplica "k²" é positivo. Desse modo, a concavidade da parábola é para cima e o gráfico fica conforme a figura.

- Observe que para termos k² + k < 0

-1 < k < 0 (Condição 2).

Como a (Condição 1) era apenas k < 0 ,

Temos que os possíveis valores para k estão no intervalo

-1 < k < 0 ou k ∈ ]-1,0[ ou ainda k ∈ (-1,0)

Representei a solução dos valores de k de 3 modos, você escolhe qual modo dar como resposta.

Vou escolher o primeiro modo. Fica assim:

Solução => S = {k ∈ R | -1 < k < 0}