Question

1. Encontre as equações reduzida e geral de uma esfera dados seu centro e raio respectivamente.

a) C=(1,-1,-3) e r=2

b) C=(0,0,0) e r=1


2. Encontre a equação geral do plano tangente a esfera S e no ponto T.

a) T=(-1/3, 1/3,-1/3) e esfera S: x²+y²+z²-2x-1=0

Answer 1

1) Sendo r o raio e C = (x₀,y₀,z₀) o centro da esfera.

Então, a equação reduzida da esfera é igual a:

(x - x₀)² + (y - y₀)² + (z - z₀)² = r²

a) Como C = (1,-1,-3) e r = 2, então:

(x - 1)² + (y + 1)² + (z + 3)² = 2²

(x - 1)² + (y + 1)² + (z + 3)² = 4 → equação reduzida

Para a equação geral, temos que:

x² - 2x + 1 + y² + 2y + 1 + z² + 6z + 9 = 4

x² + y² + z² - 2x + 2y + 6z + 7 = 0

b) Sendo C = (0,0,0) e r = 1:

(x - 0)² + (y - 0)² + (z - 0)² = 1²

x² + y² + z² = 1 → essa é a equação reduzida e geral da esfera.

2) Completando quadrado na equação x² + y² + z² - 2x - 1 = 0:

x² - 2x + 1 + y² + z² = 1 + 1

(x - 1)² + y² + z² = 2

O centro da circunferência é C = (1,0,0).

Como o plano é perpendicular à esfera no ponto T, então o vetor CT é normal ao plano:

$CT=(-\frac{4}{3}, \frac{1}{3},- \frac{1}{3})$

Assim,

$\frac{-4x+y-z}{3} = d$

O ponto T pertence ao plano. Logo:

$\frac{4+1+1}{9} = d$

$d = \frac{6}{9}$

$d = \frac{2}{3}$

Portanto, o plano tangente é:

$\frac{-4x+y-z}{3}= \frac{2}{3}$

-4x + y - z = 2