Respostas
Vamos lá.
Veja, Larissa, que a resolução é mais ou menos simples.Necessita que se tenha conhecimento sobre planificação de polígonos.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Tem-se que as arestas dadas representam a planificação lateral de um prisma, cujas medidas são: "x", "y", "z" e "w". Note que "x", "y" e "z" são as medidas de cada lado de um triângulo (note que se trata de um prisma triangular) e "w" é a medida da altura do prisma.
ii) Como os números "x", "y", "z" e "w" são inteiros consecutivos, então vamos chamá-los assim:
x = x
y = x+1
z = x+2
w = x+3.
Como a soma de todas as arestas dá 42, então note que, quando desplanificarmos o prisma triangular, vamos ter "2x", "2y" , "2z" e "3w", pois o prisma triangular tem um triângulo na base e um triângulo em cima, cuja altura "w" aparece 3 vezes (que são as arestas da altura que ligam a base do triângulo) enquanto o "x", o "y" e o "z" só aparecem duas vezes (que são as medidas dos lados do triângulo da base e do triângulo de cima). Assim, como a soma de todas as arestas dá 42, então teremos que:
2x + 2y + 2z + 3w = 42 ---- como já vimos os valores de "x", de "y", de "z" e de "w", então vamos substituir, ficando assim:
2x + 2*(x+1) + 2*(x+2) + 3*(x+3) = 42 ---- desenvolvendo, temos:
2x + 2x+2 + 2x+4 + 3x+9 = 42 --- reduzindo os termos semelhantes, temos:
9x + 15 = 42 --- passando "15" para o segundo membro, temos:
9x = 42 -15
9x = 27
x = 27/9
x = 3 <--- Este é o valor de "x".
Assim, os lados do triângulo (tanto o da base como o de cima) bem como a altura "w" terão as seguintes medidas:
x = 3
y = x+1 = 3+1 = 4
z = x+2 = 3+2 = 5
w = x+3 = 3+3 = 6.
iii) Agora vamos encontrar qual é a área do triângulo da base (que é a mesma do triângulo de cima, já que os lados são os mesmos). Para isso, vamos utilizar a fórmula de Heron, que é dada assim, considerando-se um triângulo cujo semiperímetro seja "p" e cujos lados meçam "a", "b" e "c":
A = √[p*(p-a)*(p-b)*(p-c)]
No caso do triângulo da sua questão temos que o semiperímetro será:
(x+y+z)/2 = (3+4+5)/2 = 12/2 = 6 <--- Este é o semiperímetro.
E considerando que x = 3; y = 4 e z = 5, teremos:
A = √[6*(6-3)*(6-4)*6-5)]
A = √[6*(3)*(2)*(1)] ------ desenvolvendo, temos:
A = √(36) ---- como √(36) = 6, teremos:
A = 6 cm² <--- Esta é a área da base do prisma da sua questão.
iii) Finalmente, agora vamos calcular o volume do prisma. Note que o volume de um prisma é dado por:
V = Ab*h, em que "Ab" é a área da base (que já vimos que é 6) e "h" é a altura, que já vimos que é dado por "w" e que também já vimos que "w" é igual a 6. Logo, o volume será dado por:
V = 6*6
V = 36 cm³ <--- Esta é a resposta. Opção "a".
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.